2022.7.20 闲话

有人说这个闲话太学术了，那就：

真·闲话

寻找自我真的很难。

认识自我也真的很难。

已经快一年了，

却还是难以承认我真的放手了的事实。

也不是不承认，但是，我真的有必要继续执拗于一段情意绵绵，一套铅笔橡皮尺子吗？

让我从生活中除名对别人会有任何影响吗？

不会。

有时不明白自己为什么还挖空心思，放在根本不可能收到成果的事情上面。

我是傻吗？

也许是吧。

这个是 APJifengc 的填词，根本不是 cv 的 yspm 的！

好了闲话写完了 .

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注意到神鱼的两篇闲话：7.3，7.14，所以我们还是要写点学术的 .

谈时间维上分治的一些应用

目录

• 谈时间维上分治的一些应用
  • 定期重构类
    • Period 1（根号重构）
    • Period 2（二进制分组）
  • Others

定期重构类

按时间分块，隔一会做一次（真正的）操作

Period 1（根号重构）

维护一个序列 \(\{a_n\}\)，支持：

• 区间加
• 单点求值

强制在线 .

差分变成单点加区间求和，树状数组即可

设一个块长 \(B\)，每次修改我们不做实际修改，每 \(B\) 次才做一次真正的修改，差分前缀和一下可以 \(O(n)\) .

中间的询问我们直接扫一遍当前块，如果区间对单点有贡献就加上，最后再把前面的块的贡献补上（已经算好）.

于是这样的时间复杂度为 \(O\left(n\cdot\dfrac qB+qB\right)\)，取 \(B=\sqrt n\) 得到最优复杂度 \(O(n\sqrt n)\) .

似乎和直接分块没区别啊

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Gty的妹子树

维护一棵树，支持：

• 查询子树中点权 \(>x\) 的个数 .
• 单点改点权 .
• 在某个点下面接一个点 .

强制在线 .

首先有一个可持久化线段树做法：

首先求出原树 DFS 序，然后前两个操作就就可以可持久化线段树乱杀了，第三个操作似乎难做，于是暴力重构 .

然后根号重构即可（需要用一个栈存询问）

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动态 DFT

维护一个序列 \(\{a_n\}\)（保证 \(n-1\) 是 2 的次幂），支持：

• 单点修改 .
• 单点查询 \(\operatorname{DFT}(a)\) .

其中 \(\operatorname{DFT}(a)\) 定义为：

\[\operatorname{DFT}(a)_i=\sum_{j=0}^nb_j\omega_{n-1}^{ij} \]

其中 \(\omega\) 是单位根 .

用类似做法可以做到 \(\Theta(q\sqrt{n\log n})\) .

存在 \(\Theta(n\log n + q\sqrt n)\) 做法 .

Period 2（二进制分组）

std :: set

维护一个集合，支持：

• 插入 .
• 求一个数的排名 .

强制在线 .

维护若干个数组，大小分别为 \(2^0,2^1,\dots,2^k\) .

每次插入直接插最前然后强制排序，如果两个数组大小相等则合并 .

每个段最多被合并 \(\log\) 次（因为二进制加法器的均摊分析原理），于是复杂度为 \(O(n\log^2n)\) .

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String Set Queries

维护一个字符串集合，支持三种操作：

• 加字符串 .
• 删字符串 .
• 查询集合中的所有字符串在给出的模板串中出现的次数 .

强制在线 .

AC 自动机 + 二进制分组，和上例类似 .

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Others

• EI Magic：类 BSGS 分块 .
• cdq 分治：link .