2022.7.18 闲话

看一本 DK 科普书籍中的完全背包题，口胡一波生成函数还胡错了（忘取倒数 QAQ）

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目录

• Problem 1
• Problem 2
• Problem 3

Problem 1

题目来源：EI 群 .

对于 \(\gcd(a,b)=1\)，问什么样的 \(n\) 能使得 \(n\times n\) 的大正方形可以划分为若干个 \(a\times a\) 和 \(b\times b\) 的小正方形（各至少一个，且必须是正着摆，不能倾斜）.

答案：\(a\mid n\) 且 \(b\mid n\) .

必要性显然 .

充分性证明如下：

对 \(i\) 行 \(j\) 列位置赋值 \(\omega_a^i\cdot \omega_b^j\)，则所有小正方形权值和为 \(0\)（因为单位根事循环的），从而大正方形权值和为 \(0\) .

然后提一下公因式即得 \(a\mid n\) 且 \(b\mid n\) .

证毕 .

Problem 2

给一个正整数 \(n\)，求：

\[F(n)=\left(\sum_{d\mid n}d\right)\bmod 2 \]

\(n<2^{128}\) .

结论：\(F(n)=1\) 当且仅当存在 \(r\in\mathbb N\)，\(k\in\mathbb N_+\) 使得 \(n=2^r\cdot k^2\) .

证明可以考虑数学归纳法（确信）.

Problem 3

LOJ6515 贪玩蓝月

有若干个二元组 \((w,v)\)，定义一组二元组的特征值为 \(w\) 之和，价值为 \(v\) 之和 .

维护一个双端队列，支持：

• IF w v，在开头插一个二元组 \((w,v)\) .
• IG w v，在末尾插一个二元组 \((w,v)\) .
• DF w v，弹开头的二元组 .
• DG w v，弹末尾的二元组 .
• QU w v，选取若干二元组，令其特征值为 \(s\)，使得存在一个 \(t\in[l, r], s\equiv t\pmod p\)，最大化价值，只需输出最大的价值 .

强制在线 .

\(m\le 50000\)，\(p\le 500\) .

用两个栈模拟一下双端队列 .

维护两个栈 \(F\) 和 \(G\)，在开头和结尾插入删除就直接在这两个栈中分别 push 和 pop .

如果出现删除时某个栈空了，那么直接暴力重构这两个栈使得这两个栈大小之差最小 .

设 \(w\) 为两栈的大小之差，那么一次正常的插入删除只会让 \(w\) 变化 \(1\)，而重构平均分配的操作会用 \(\Theta(w)\) 的复杂度使 \(w\) 变成 \(0\) 或 \(1\)，于是均摊时间复杂度是 \(O(m)\) 的 .

注意到要维护的一个东西是背包，于是考虑怎么在栈上维护背包 .

考虑 DP，求答案时维护一个数组 \(t_{i,j}\) 表示 \([i,i+2j]\) 中 DP 值的最大值，查的时候枚举选的个数然后分讨一下求 max 即可 .

这部分可以滑动窗口 .

于是时间复杂度 \(O(mp)\) .