2022.7.16 闲话

7.15 因为 CF 痛失一篇鲜花 .

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如果一个二分图中每个点的度数都是 $k$，那么称作一个 $k$ - 正则二分图 .

Hall 定理

对于一个二分图 $G$，我们记 $L, R$ 分别为其两边的点 . 对于 $S \subseteq L$，我们令 $N(S)$ 表示直接连到 $S$ 的所有右边的点 .

如果对任意 $S \subseteq L$，都有 $|N(S)| \geq S$，那么最大匹配数为 $|L∣$（即左边的每个点都能被匹配上）.

特别的，如果 $|L| = |R|$，则此时存在完美匹配。

根据 Hall 定理，我们知道正则二分图一定是存在完美匹配的 .

匹配的求法详见 rqy 的博客：https://www.luogu.com.cn/blog/rqy/hall-theorem-regular-bigraph .

然后我们每次取一对匹配，就可以构造出 $k$ 染色了 .

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当然，还有另外一个做法，非常的 simple 啊 .

正则二分图 $k$ 染色，这玩意可以做一般二分图，因为我们可以随手补成正则二分图 .

所以，对于一般二分图，最小染色是最大点度数。我们基于这一点魔改匈牙利 .

由于每一条边都要丢进匹配内，为了调整答案的方便，类似匈牙利每次加入一个点，我们每次加入一条边 .

同时，也使用交错路增广 .

考虑在两个点之间加一条边，度数增加了 1，那么我们分别取值为 $\rm mex$，记为 $L,R$，来染色。

那么我们就要找一条 $L,R,L,R,\dots$ 的交错路。

这个增广过程可以终止的原因是显然不会出现环，不然与 $\rm mex$ 染色矛盾。

这样不断加入边，就可以一直维护染色的性质 .

每次访问 $O(n)$ 个点，复杂度 $O(nm)$ .

挺意识流，因为最开始写这个方法的人也是很意识流的写出来的 .

Code by daklqw:

void dfs(int l, int r, int x, int y, int cx, int cy) {
	col[l][x][cx] = y;
	if (int v = col[r][y][cx])
		col[l][v][cx] = 0, dfs(r, l, y, v, cy, cx);
	col[r][y][cx] = x;
}
void adde(int x, int y) {
	int ca, cb;
	for (ca = 1; col[0][x][ca]; ++ca) ;
	for (cb = 1; col[1][y][cb]; ++cb) ;
	dfs(0, 1, x, y, ca, cb);
}