2022.7.14 闲话

闲话，随便写写吧 .

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Divisor Summatory Function 定义为

\[T(n)=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor \]

非常简单吧 .

后面讨论的均为多组询问 .

记号约定：\(O(f(n)) - O(g(n))\) 表示 \(O(f(n))\) 复杂度预处理，\(O(g(n))\) 复杂度询问 .

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Algorithm -1：暴力，\(O(1)-O(n)\) .

Algorithm 0：每次整除分块，\(O(1)-O(\sqrt n)\) .

Algorithm 1：\(O(n)\) 递推，\(O(n)-O(1)\)（洛谷 P3708）.

这表明 \(\displaystyle T(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i)\) .

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Algorithm 2

另一方面，这个是反比例函数下整点个数，根据双曲线对称性，有

\[T(n)=2\sum_{i=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor^2 \]

不过并不能加快复杂度，只能让实现更容易一点 .

其实有魔法可以做到 \(O(n^{1/3}) - O(1)\)，见 link .

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我水完了 .

高维情况可以看上面的论文 .

End