2022.7.14 闲话

闲话，随便写写吧 .

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Divisor Summatory Function 定义为

$$T(n)=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$$

非常简单吧 .

后面讨论的均为多组询问 .

记号约定：$O(f(n)) - O(g(n))$ 表示 $O(f(n))$ 复杂度预处理，$O(g(n))$ 复杂度询问 .

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Algorithm -1：暴力，$O(1)-O(n)$ .

Algorithm 0：每次整除分块，$O(1)-O(\sqrt n)$ .

Algorithm 1：$O(n)$ 递推，$O(n)-O(1)$（洛谷 P3708）.

这表明 $\displaystyle T(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i)$ .

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Algorithm 2

另一方面，这个是反比例函数下整点个数，根据双曲线对称性，有

$$T(n)=2\sum_{i=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor^2$$

不过并不能加快复杂度，只能让实现更容易一点 .

其实有魔法可以做到 $O(n^{1/3}) - O(1)$，见 link .

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我水完了 .

高维情况可以看上面的论文 .

End