毛毛虫剖分

目录

• 毛毛虫剖分
  • 问题描述
  • 重标号方法
  • 重标号性质
• 例题
  • NOI2021 轻重边

主要参考：https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16435243.html .

毛毛虫剖分

问题描述

毛毛虫剖分，一种由轻重链剖分（HLD）推广而成的树上结点重标号方法，支持修改 / 查询一只毛毛虫的信息，并且可以对毛毛虫的身体和足分别修改 / 查询不同信息 .

严格不弱于树剖，而且复杂度和树剖一样哦！

一些定义（默认在一棵树上）：

• 毛毛虫：一条链和与这条链邻接的所有结点构成的集合 .
• 虫身（身体）：毛毛虫的链部分 .
• 虫足（足）：毛毛虫除虫身的部分 .

重标号方法

1. 首先重剖求出重链 .
2. DFS，若现在处理到结点 \(u\)：
3. 若 \(u\) 还未被标号，则为其标号 .
4. 若 \(u\) 是重链头，遍历这条重链，将邻接这条链的结点依次标号 .
5. 先递归重儿子，再递归轻儿子 .

重标号性质

• 对于重链，除链头外的结点标号连续 .
• 对于任意结点，其轻儿子标号连续 .
• 对于以重链头为根的子树，与这条重链邻接的所有结点标号连续 .

这样就可以随便维护毛毛虫信息了，顺便还能维护链信息，子树信息等 .

时间复杂度同轻重链剖分 .

例题

NOI2021 轻重边

一棵 \(n\) 个点的树，\(m\) 次操作：

• 对一条毛毛虫身体染黑色，足部染白色 .
• 查询一条链上的黑边数量 .

\(n,m\le 10^5\) .

直接剖，\(O(m\log^2 n)\) .

代码：https://loj.ac/s/1557272 .