排列排序最小交换次数

一个排列 $\{a_n\}$，每次可以交换任意两个数，求将其排序所需的最小交换次数 .

令 $\{a\}$ 排序后的序列为 $\{a'\}$，令 $a_i$ 在 $\{a'\}$ 中的位置为 $i'$，则连边 $i\to i'$ .

则答案为

$$G(\{a\})=n-r$$

其中 $r$ 为构造出的图的连通块个数

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首先我们构造出的东西肯定就是一个置换，可以拆成若干个置换环 .

令 $F_n(r)$ 表示长度为 $n$ 的有 $r$ 个置换环的排列交换最小次数 .

Lemma 1

对于大小不小于 $2$ 的置换环，将任意两个不同节点进行交换后则成为两个置换环 .

Lemma 1.5
对于两个置换环，在每个置换环中各取一个节点，将两个节点进行交换后, 两个置换环合并为一个置换环 .

Lemma 1 和 Lemma 1.5 是显而易见的 .

Lemma 2

对于有 $n$ 个节点的置换环，其交换次数为 $n-1$（即 $F_n(1)=n-1$） .

看起来非常显然，但实际上需要进一步论证 .

考虑数学归纳法 .

• 当 $n=1$ 时命题显然成立 .

• 假设当 $n\le N$ 时命题全部成立（$N\ge 2$），则只需证 $n=N+1$ 时命题仍成立 .

  首先任选交换环中的两个不同的节点交换，由 Lemma 1 知，分裂成两个置换环，设他们的大小分别是 $s_1,s_2$ ($s_1+s_2=N+1$），由归纳假设知 $F_{s_1}(1)=s_1-1$，$F_{s_2}(1)=s_2-1$，根据 Lemma 2 把他们合并起来则有 $F_{N+1}(1)=F_{s_1}(1)+F_{s_2}(1)=s_1+s_2-2=k$ .

  于是当 $n=N+1$ 时命题也成立 .

从而，Lemma 2 获证 .

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回到原命题，欲证 $F_n(r)=n-r$ .

仍然考虑数学归纳法 .

• 首先当 $n=r$ 时命题显然成立 .

• 假设当 $r\ge R$（$1\le R\le n$）时命题都成立，则只需证 $r=R-1$ 时命题仍成立 .

  （存在性）首先根据 Lemma 2，如果只交换置换环，那么就需要 $n-r+1$ 次操作，接下来证明此为最小交换次数 .

  （极小性）假设最小的操作序列使得交换次数小于 $n-R+1$，则该交换序列必然包含交换环间的交换操作，由 Lemma 1，Lemma 1.5 可知，一次环间操作只会将置换环数量改变 $1$（加 $1$ 或减 $1$），因为最终状态有 $n$ 个置换环（根据归纳假设，$R\le n$），所以该操作序列必然存在一个已交换步数 $k\ge1$ 使得置换环的个数等于 $R$ .

  则 $F_n(R-1)=F_n(R)+k=n-R+k\ge n-R+1$，矛盾！故不存在一个操作序列使得交换次数小于 $n-R+1$ .

从而 $F_n(r)=n-r$，证毕 .