排列排序最小交换次数

一个排列 \(\{a_n\}\)，每次可以交换任意两个数，求将其排序所需的最小交换次数 .

令 \(\{a\}\) 排序后的序列为 \(\{a'\}\)，令 \(a_i\) 在 \(\{a'\}\) 中的位置为 \(i'\)，则连边 \(i\to i'\) .

则答案为

\[G(\{a\})=n-r \]

其中 \(r\) 为构造出的图的连通块个数

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首先我们构造出的东西肯定就是一个置换，可以拆成若干个置换环 .

令 \(F_n(r)\) 表示长度为 \(n\) 的有 \(r\) 个置换环的排列交换最小次数 .

Lemma 1

对于大小不小于 \(2\) 的置换环，将任意两个不同节点进行交换后则成为两个置换环 .

Lemma 1.5
对于两个置换环，在每个置换环中各取一个节点，将两个节点进行交换后, 两个置换环合并为一个置换环 .

Lemma 1 和 Lemma 1.5 是显而易见的 .

Lemma 2

对于有 \(n\) 个节点的置换环，其交换次数为 \(n-1\)（即 \(F_n(1)=n-1\)） .

看起来非常显然，但实际上需要进一步论证 .

考虑数学归纳法 .

• 当 \(n=1\) 时命题显然成立 .

• 假设当 \(n\le N\) 时命题全部成立（\(N\ge 2\)），则只需证 \(n=N+1\) 时命题仍成立 .

  首先任选交换环中的两个不同的节点交换，由 Lemma 1 知，分裂成两个置换环，设他们的大小分别是 \(s_1,s_2\) (\(s_1+s_2=N+1\)），由归纳假设知 \(F_{s_1}(1)=s_1-1\)，\(F_{s_2}(1)=s_2-1\)，根据 Lemma 2 把他们合并起来则有 \(F_{N+1}(1)=F_{s_1}(1)+F_{s_2}(1)=s_1+s_2-2=k\) .

  于是当 \(n=N+1\) 时命题也成立 .

从而，Lemma 2 获证 .

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回到原命题，欲证 \(F_n(r)=n-r\) .

仍然考虑数学归纳法 .

• 首先当 \(n=r\) 时命题显然成立 .

• 假设当 \(r\ge R\)（\(1\le R\le n\)）时命题都成立，则只需证 \(r=R-1\) 时命题仍成立 .

  （存在性）首先根据 Lemma 2，如果只交换置换环，那么就需要 \(n-r+1\) 次操作，接下来证明此为最小交换次数 .

  （极小性）假设最小的操作序列使得交换次数小于 \(n-R+1\)，则该交换序列必然包含交换环间的交换操作，由 Lemma 1，Lemma 1.5 可知，一次环间操作只会将置换环数量改变 \(1\)（加 \(1\) 或减 \(1\)），因为最终状态有 \(n\) 个置换环（根据归纳假设，\(R\le n\)），所以该操作序列必然存在一个已交换步数 \(k\ge1\) 使得置换环的个数等于 \(R\) .

  则 \(F_n(R-1)=F_n(R)+k=n-R+k\ge n-R+1\)，矛盾！故不存在一个操作序列使得交换次数小于 \(n-R+1\) .

从而 \(F_n(r)=n-r\)，证毕 .