对卷积的一些理解与 FWT

UPD. 密码已去除

令 $\lor$ 符号表示按位或（AND），$\land$ 符号表示按位与（OR），$\oplus$ 符号表示按位异或（XOR），$\lnot$ 表示按位取反（NOT）.

话说序列到底用 $\langle a\rangle$ 表示好还是 $\{a\}$ 表示好啊（

卷积还有一个理解是 https://gauss0320.blog.luogu.org/zong-xian-xing-bian-huan-di-jiao-du-kan-dai-fwt（Luogu4717 题解）

目录

• 卷积 (Convolution)
  • 数列卷积
  • 卷积定理
  • 生成函数角度的理解
• 位运算卷积与 FWT
  • 按位或 (FWT - OR)
  • 按位与 (FWT - AND)
  • 按位异或 (FWT - XOR)
  • 代码

卷积 (Convolution)

数列卷积

卷积的定义：

两个序列 $A,B$ 的卷积是

$$C_n=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}A_iB_{n-i}$$

简记为 $C = A * B$ .

然而我们一般所说的序列下标都是不小于 $0$ 的，于是

$$\boxed{C_n=\sum_{i=0}^nA_iB_{n-i}}$$

这就是卷积的定义了 .

当然还可以写成这个样子

$$C_n=\sum_{i+j=n}A_iB_j$$

---

当然我们也可以定义一些别的卷积，类似这样：

$$\boxed{C_n=\sum_{i\circ j=n}A_iB_j}$$

其中 $\circ$ 是一个运算符 .

注意我们保留了乘积的形式 .

卷积定理

对于一个神奇的函数 傅里叶变换（Fourier Transform，FT），有

$$\boxed{\mathcal F(f*g)=\mathcal F(f)\cdot \mathcal F(g)}$$

这就是卷积定理，关于 FT 是啥就不说了，直接按 DFT 理解就好了 .

卷积定理对于其他的卷积也有时成立 .

卷积定理可以大大加速卷积的计算，十分重要 .

生成函数角度的理解

生成函数（Generating Function，GF）大家都知道吧，其实我们各种类型的生成函数都可以通过下面这种柿子统一：

$$F(z)=\sum_na_nk_n(z)$$

其中 $k$ 被成为 核函数 .

例如 $k_n(z)=z^n$ 时就是 OGF，$k_n(z)=\dfrac{z^n}{n!}$ 时就是 EGF，$k_n(z)=n^{-z}$ 时就是 DGF，$k_n(X)=\Pr(X=n)$ 时就是 PGF，等等 .

---

GF 的乘积就可以看作卷积，序列和生成函数之间形成一个一一对应 .

例如 OGF 情况，我们有

$$\begin{aligned}F(z)G(z)&=\left(\sum_na_nz^n\right)\left(\sum_nb_nz^n\right)\\&=\sum_{n}\sum_{m}a_nb_mz^{n+m}\\&=\sum_{k}\sum_{m}a_{k-m}b_mz^k\end{aligned}$$

最后一步是枚举 $k=n+m$ .

这样我们就将 OGF 的乘积化成 OGF 形式了，提取系数，有

$$[z^n]F(z)G(z)=\sum_{m}a_{n-m}b_m$$

这不就是卷积嘛！

类似的，EGF 的乘积称作二项卷积，DGF 的卷积称作 Dirichlet 卷积，等等 .

位运算卷积与 FWT

位运算卷积，即

$$C_n=\sum_{i\circ j=n}A_iB_j$$

其中 $\circ$ 是 $\land,\lor$ 或 $\oplus$（即位运算）.

其实这个位运算是可以规约到集合的

---

同普通卷积一样，我们要寻找一个函数 $\mathcal S$，使得其满足卷积定理

$$\mathcal S(f*g)=\mathcal S(f)\cdot \mathcal S(g)$$

本质上来讲，是 https://www.luogu.com.cn/blog/wangrx/solution-p-4717 .

按位或 (FWT - OR)

显然有 $j\lor i = i$ 且 $k\lor i = i$ 则 $j\lor k\lor i = i$ .

令 $\displaystyle \operatorname{FWT}(\{a\})=\sum_{j\lor i = i}a_j$ .

则若在按位或卷积意义下有 $c=a*b$，则

$$\begin{aligned} \operatorname{FWT}(\{a\})_i\operatorname{FWT}(\{b\})_i&=\left(\sum_{j\lor i = i}a_j\right)\left(\sum_{j\lor i = i}b_j\right)\\&=\sum_{j\lor i = i}\sum_{k\lor i = i}a_jb_k\\&=\sum_{(j\lor k)\lor i = i}a_jb_k\\&=\operatorname{FWT}(\{c\})_i\end{aligned}$$

于是 $\operatorname{FWT}$ 就是我们要找的 $\mathcal S$！

现在考虑怎么求 $\operatorname{FWT}$ 及 $\operatorname{FWT}^{-1}$ .

Part I. FWT（$\operatorname{FWT}$）

将原序列 $\{a\}$ 按二进制最高位分类，令 $\{a_0\}$ 表示 $\{a\}$ 下标最高位为 $0$ 的，$\{a_1\}$ 表示 $\{a\}$ 下标最高位为 $1$ 的，则

$$F(\{a\})=\operatorname{merge}(F(\{a_0\}),F(\{a_0\})+F(\{a_1\}))$$

其中 $F=\operatorname{FWT}$，$\operatorname{merge}$ 为序列拼接，$+$ 是对应位相加 .

于是可以分治，从而 FWT-OR 被 $O(n\log n)$ 解决 .

Part II. IFWT（$\operatorname{FWT}^{-1}$）

依然将 $\{a\}$ 按二进制最高位分类，分法相同，由 Part I 知：

$$F(\{a\})=\operatorname{merge}(F(\{a_0\}),F(\{a_0\})+F(\{a_1\}))$$

其中 $F=\operatorname{FWT}$，于是：

$$\{a\}=\operatorname{merge}(\{a_0\},\{a_1\}-\{a_0\})$$

也可以分治，从而 IFWT-OR 被 $O(n\log n)$ 解决 .

按位与 (FWT - AND)

和 FWT-OR 类似，令 $\displaystyle \operatorname{FWT}(\{a\})_i=\sum_{j\land i = i}a_j$ 即可 .

发现 $\displaystyle \sum_{j\land i = i}a_j=\sum_{j\lor i = j}a_j$，所以 FWT-OR 和 FWT-AND 是本质相同的 .

按位异或 (FWT - XOR)

其实 FWT 是叫 Fast Walsh–Hadamard Transform，然而 Walsh–Hadamard 这种原本就只指 FWT - XOR 的 .

定义 $x\otimes y=\operatorname{popcount}(x\land y)\bmod 2$，其中 $\operatorname{popcount}(x)$ 表示 $x$ 二进制中 $1$ 的个数 .

引一个引理：

Lemma

$$\operatorname{popcount}(x\oplus y)\equiv \operatorname{popcount}(x)+\operatorname{popcount}(y)\pmod 2$$

证明可以参考 CF1615D 题解，可以直接考虑真值表 .

于是我们就有

$$\begin{aligned}i\otimes(j\oplus k)&\equiv\operatorname{popcount}(i\land(j\oplus k))\\&=\operatorname{popcount}((i\oplus k)\land(j\oplus k))\\&\equiv\operatorname{popcount}(i\oplus k)+\operatorname{popcount}(j\oplus k)\\&\equiv (i\oplus k)\otimes(j\oplus k)&\pmod 2\end{aligned}$$

显而易见的，就有 $i\otimes(j\oplus k)=(i\oplus k)\otimes(j\oplus k)$ .

有了这个性质就好做了，定义 $\displaystyle \operatorname{FWT}(\{a\})_i=\left(\sum_{i\otimes j=0}a_j\right)-\left(\sum_{i\otimes j=1}a_j\right)$ 即可 .

则

$$\begin{aligned}\operatorname{FWT}(\{a\})_i\operatorname{FWT}(\{b\})_i&=\left(\left(\sum_{i\otimes j=0}a_j\right)-\left(\sum_{i\otimes j=1}a_j\right)\right)\left(\left(\sum_{i\otimes j=0}b_j\right)-\left(\sum_{i\otimes j=1}b_j\right)\right)\\&=\left(\sum_{i\otimes j=0}b_j\right)\left(\sum_{i\otimes k=0}b_k\right)-\left(\sum_{i\otimes j=0}b_j\right)\left(\sum_{i\otimes k=1}b_k\right)-\left(\sum_{i\otimes j=1}b_j\right)\left(\sum_{i\otimes k=0}b_k\right)+\left(\sum_{i\otimes j=1}b_j\right)\left(\sum_{i\otimes k=1}b_k\right)\\&=\left(\sum_{i\otimes(j\oplus k)=0}a_jb_k\right)-\left(\sum_{i\otimes(j\oplus k)=1}a_jb_k\right)\\&=\operatorname{FWT}(\{a\}*\{b\})_i\end{aligned}$$

于是就类似 FWT-OR 了，令 $F=\operatorname{FWT}$，则

$$F(\{a\})=\operatorname{merge}(F(\{a_0\})+F(\{a_1\}),F(\{a_0\})-F(\{a_1\}))$$

$$\{a\}=\operatorname{merge}\left(\dfrac{\{a_0\}+\{a_1\}}2,\dfrac{\{a_0\}-\{a_1\}}2\right)$$

注意 IFWT-XOR 要乘 $\dfrac 12$ .

于是分治即可，FWT / IFWT - XOR 被 $O(n\log n)$ 解决 .

从而位运算卷积（OR, AND, XOR）被 $O(n\log n)$ 解决 .

代码

用 lambda 表达式精简代码 .

不要管 namespace 名 .

// since C++14
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
const int N = (1 << 17) + 233, P = 998244353, INV2 = 499122177;
int n;
vector<ll> a, b;
namespace FWTbitwise 
{
#define args vi& A, int i, int j, int k, int mode
	typedef vector<ll> vi;
	auto OR  = [](args){(A[i+j+k] += A[i+j] * mode) %= P;};
	auto AND = [](args){(A[i+j] += A[i+j+k] * mode) %= P;};
	auto XOR = [](args)
		 {
		 	(A[i+j] += A[i+j+k]) %= P;
		 	A[i+j+k] = (A[i+j] - A[i+j+k] * 2 % P) % P;
		 	(A[i+j] *= mode) %= P; (A[i+j+k] *= mode) %= P;
		};
#undef args
	inline void FWT(vi& A, int mode, auto method)
	{
		int n = A.size();
		for (int st = 2, k = 1; st <= n; st <<= 1, k <<= 1)
			for (int i=0; i<n; i+=st)
				for (int j=0; j<k; j++) method(A, i, j, k, mode);
	}
	inline void conv(vi& A, const vi& B){for (int i=0; i<A.size(); i++) (A[i] *= B[i]) %= P;}
}
int main()
{
	using namespace FWTbitwise;
	scanf("%d", &n); n = 1 << n;
	for (int i=0, x; i<n; i++) scanf("%d", &x), a.emplace_back(x);
	for (int i=0, x; i<n; i++) scanf("%d", &x), b.emplace_back(x);
	vector<ll> tmpa(a), tmpb(b);
	a = tmpa; b = tmpb; FWT(a, 1, OR);  FWT(b, 1, OR);  conv(a, b); FWT(a, P-1, OR);
	for (int i=0; i<n; i++) printf("%lld ", (a[i] + P) % P); puts("");
	a = tmpa; b = tmpb; FWT(a, 1, AND); FWT(b, 1, AND); conv(a, b); FWT(a, P-1, AND);
	for (int i=0; i<n; i++) printf("%lld ", (a[i] + P) % P); puts("");
	a = tmpa; b = tmpb; FWT(a, 1, XOR); FWT(b, 1, XOR); conv(a, b); FWT(a, INV2, XOR);
	for (int i=0; i<n; i++) printf("%lld ", (a[i] + P) % P); puts("");
	return 0;
}