有限微积分

备注

等我有朝一日能同时摸到《具体数学》和键盘就补充完善它 .

震惊了！竟然通过摸鱼找到了一直想找的 参考资料，事实证明摸鱼有利于 OI！

APJ 神教万岁

震惊！这篇文章没有一个 \boxed！

目录

• 备注
• 算子
  • 移位 (Shift) 算子
  • 差分算子
  • 求和算子
• 下降幂
  • 上升幂与下降幂
  • 一些问题
  • 普通幂与下降幂之转换
  • 下降幂求和 / 裂项
• 差分
  • 简单性质
  • 特殊函数
  • 高阶差分
  • 牛顿级数
• 和式
  • 不定和式
  • 定和式
• 一些例子

算子

无限微积分是微分与积分，有限微积分是差分与和式 .

这里先只谈定义 .

移位 (Shift) 算子

定义 \(\mathsf E f(x)=f(x+1)\) .

这就是移位算子 \(\mathsf E\)，推广之，\(\mathsf E^k f(x)=f(x+k)\) .

差分算子

OIer 肯定熟悉差分 .

定义 \(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\) .

（其实根据 \(\mathsf E\) 的定义我们有 \(\Delta=\mathsf E-1\)） .

推广之，\(\Delta^k f(x)=\Delta(\Delta^{k-1}f(x))\)，其中 \(\Delta^1=\Delta\) .

\(\Delta^k\) 的公式后面再导 .

求和算子

求和算子就是 \(\sum\) .

\(\sum\) 分为定和式和不定和式，很有积分的味道啊 .

不定和式就是差分的逆运算，注意写的时候要加 \(\delta x\)，正如 \(\int\) 写的时候要 \(\mathrm dx\)（可以发现大小写关系）

下降幂

上升幂与下降幂

这其实算一个引入，一般是根据差分引入，但是我觉得提出来说一下不错 .

为什么大标题不说上升幂，因为用的少啊 .

定义下降阶乘幂或者简称下降幂为 \(x^{\underline n}=x\cdot (x-1)\cdot\dots\cdot(x-n+1)\) .

这不是排列数吗

下降幂是有限微积分中的重要概念哦 .

对了还没定义上升幂，\(x^{\overline n}=x\cdot (x+1)\cdot\dots\cdot(x+n-1)\)，是不是和下降幂很像 .

一些问题

其实我们的下降幂是有一点问题的，上面那个定义要求是 \(n\ge 0\) .

我们考虑根据推广负指数幂的方法，可以轻易发现递推式 \(x^{\underline m}=\dfrac{x^{\underline{m-1}}}{x-m}\) .

于是呐，就有

\[x^{\underline{−m}}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)\cdots(x+m)}=\dfrac{1}{(x+1)^{\overline m}} \]

其中 \(m>0\) .

值得一提的是，\(x^{\underline{-1}}=\dfrac1{x+1}\) .

上升幂类似 .

多了一个有趣的性质：

\[x^{\underline{m+n}}=x^{\underline m}(x-m)^{\underline n} \]

普通幂与下降幂之转换

这是借助两类斯特林数完成的 .

普通幂转下降幂：

\[x^n=\sum_{k=0}^n{n\brace k}x^{\underline{k}} \]

​
下降幂转普通幂：

\[x^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^n{n\brack k}(-1)^{n-k}x^k \]

不再展开说 .

下降幂求和 / 裂项

直接上整数裂项：

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^kn^{\underline i}&=\dfrac1{k+1}\sum_{i=0}^n((i+1)^{\underline{k+1}}-i^{\underline{k+1}})\\&=\dfrac1{k+1}(n+1)^{\underline{k+1}}\end{aligned} \]

没了 .

差分

简单性质

• 加：\(\Delta (u+v)=\Delta u+\Delta v\)
• 减：\(\Delta (u-v)=\Delta u-\Delta v\)
• 乘常数：\(\Delta(Cu)=C\Delta u\)
• 乘：\(\Delta(uv)=u\Delta v+\mathsf Ev\Delta u\)，证明就像分组分解因式 .

特殊函数

幂函数需要借助下降幂，\(\Delta(x^{\underline n})=nx^{\underline{n-1}}\) .

---

指数函数可以直接整，不需要下降幂 .

直接代入 \(\Delta\) 的定义可得 \(\Delta 2^x=2^x\) .

推广之，得 \(\Delta q^x=(q-1)\cdot q^x\) .

高阶差分

我们前面有 \(\Delta=\mathsf E-1\) 对不对 .

那么 \(\Delta^k\) 直接二项式定理展开（这是一个算子的运算式）

\[\Delta^k=(\mathsf E-1)^k=\sum_{i=0}^k\dbinom ki(-1)^{k-i}\mathsf E^k \]

于是

\[\begin{aligned}\Delta^k f(x)&=\sum_{i=0}^k\dbinom ki(-1)^{k-i}\mathsf E^k f(x)\\&=\sum_{i=0}^k\dbinom ki(-1)^{k-i}f(x+k)\end{aligned} \]

这也就是高阶差分的公式了 .

牛顿级数

根据高阶差分不断差可以得到

\[f(x)=\sum_{k\ge 0}\dfrac{\Delta^kf(x_0)}{k!}(x-x_0)^{\underline{k}}=\sum_{k\ge 0}\dbinom{x-x_0}{k}\Delta^{k}f(x_0) \]

这是两种形式的牛顿级数，也可以看成离散的 Taylor 展开 .

当然这也叫什么“等间距牛顿插值公式”，然而应用比较少就不说了 .

和式

不定和式

定义：

\[f(x)=C+\sum\Delta f(x)\delta x \]

和积分简直一模一样 .

\(+C\) 放在前面用来避免歧义，但一般来说还是放在后面的好 .

根据差分乘法法则 \(\Delta(uv)=u\Delta v+\mathsf E v\Delta u\)，移项再取和式可得分部求和法则

\[\sum u\Delta v=uv-\sum\mathsf Ev\Delta u \]

还是比较重要的！

定和式

定义：

\[{\sum}_a^bf(x)\delta x=\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots f(b-1) \]

注意这个左边 \(\sum\) 的上下标（也可以在后面用竖线表示） .

根据裂项可得

\[{\sum}_a^b\Delta f(x)\delta x=\sum f(b)-\sum f(a) \]

是不是很像微积分基本定理，我们再改一下：

\[{\sum}_a^b\Delta f(x)\delta x=F(b)-F(a) \]

其中 \(F(x)=\sum f(x)\delta x + C\) 为不定和式 .

一些定积分有的性质我就不说了，离散情况下老好证了 .

一些例子

\[% https://www.cnblogs.com/ZeonfaiHo/p/7276933.html % https://www.cnblogs.com/lfri/p/11188683.html % https://www.luogu.com.cn/blog/wangrx/finite-calculus % https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/16170418.html \]

\[\Huge\color{red}{\text{没有例子}} \]