一个小 Trick

平方变两次

一个状态 $S$ 有一个贡献，所有状态 $S$ 组成集合 $U$ .

然后我们要统计下面这个东西

$$ans=\sum_{S\in U}f^2(S)$$

然后我们就可以看作是选两个 $U$ 里的 $S_1, S_2$，然后 $S_1=S_2$ 的方案数 .

这样就把一个带平方的贡献问题转化成一个简单的选择了 .

让我们看一个实例：

NOI2009 管道取珠

两个字符串 $S,T$ .

整一个仅含 $1, 2$ 的序列 $\{a\}$，用以下步骤生成一个字符串 $U$：

• 扫描序列 $\{a\}$ .
• 目前扫到了 $x$：
  • 如果 $x$ 是 $1$，从 $S$ 的末尾拿一个字符放到 $U$ 的开头，然后把 $S$ 末尾那个字符删了 .
  • 如果 $x$ 是 $2$，从 $T$ 的末尾拿一个字符放到 $U$ 的开头，然后把 $T$ 末尾那个字符删了 .

然后最后 $S,T$ 都删没了得到的 $U$ 就是生成出来的字符串 .

所有只有 $n$ 个 $1$，$m$ 个 $2$ 的序列是合法的 .

令 $f(X)$ 为序列 $X$ 能被多少给合法序列生成 .

求

$$\sum_X f^2(X)$$

对 $1024523$ 取模 .

$1\le n,m\le 500$ .

题解：

平方变两次，于是变成生成两次生成了相同的串的方案数 .

直接大力普及组 DP，令 $dp_{i,j,k,l}$ 表示第一次 $S$ 取 $i$ 个，$T$ 取 $j$ 个；第一次 $S$ 取 $k$ 个，$T$ 取 $l$ 个的答案 .

然后轻松转移把 .

显然 $i+j=k+l$，于是可以滚掉一维度 .

于是这道题就被 $O(n^2m)$ 解决了 .

一些类似的题目：

• BJOI2017 机动训练
• UOJ #667 提问系统（需要把原 Trick 推广到单项式）
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