范德蒙德卷积，一个绝妙的证明

Update on 2022/5/24 等价于生成函数做法，是我菜了 .

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范德蒙德卷积：

$$\sum_{i=0}^k\dbinom ni\dbinom m{k-i}=\dbinom{n+m}k$$

怎么证呢？

常见证法：

• 组合意义（天地灭）
• OGF（天地灭灭灭灭灭）

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一个绝妙的证明：

显而易见 $\forall a,b$ .

$$(a+b)^n(a+b)^m=(a+b)^{n+m}$$

用二项式定理展开：

$$\left[\sum_{k=0}^n\dbinom nka^kb^{n-k}\right]\left[\sum_{k=0}^m\dbinom nka^kb^{m-k}\right]=\sum_{k=0}^{n+m}\dbinom {n+m}ka^kb^{n+m-k}$$

$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m\dbinom ni\dbinom mja^ib^jb^{n-i}b^{m-j}=\sum_{k=0}^{n+m}\dbinom {n+m}ka^kb^{n+m-k}$$

$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m\dbinom ni\dbinom mja^{i+j}b^{n+m-i-j}=\sum_{k=0}^{n+m}\dbinom {n+m}ka^kb^{n+m-k}$$

对于 LHS，令 $k=i+j$，转而枚举 $k$ .

$$\mathrm{LHS}=\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{j=0}^m\dbinom n{k-j}\dbinom mja^{k}b^{n+m-k}$$

对比系数（此处正确性在于 $\forall a,b$ 原式均成立）

$$\sum_{j=0}^m\dbinom n{k-j}\dbinom mj=\dbinom {n+m}k$$

证毕了！！！！！！！