自然数幂和多项式

听说一个人的数论要用伯努利数处理自然数幂和，然而我之前只会插值，吓得跑去学了一下自然数幂和 .

附录 — 前置知识

插值相关：看我的博客 link（旧文慎入） .

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第二类斯特林数相关：

定义：第二类斯特林数 $\displaystyle{n\brace k}$ 表示 $n$ 个有标号小球放入 $k$ 个无标号集合，每个集合都非空的方案数 .

然后根据组合意义（这个证明和二项式系数那个差不多），可以得到递推式：

$$\boxed{{n\brace k}=k{n-1\brace k}+{n-1\brace k-1}}$$

然后这个可以 $O(n^2)$ 递推 .

普通幂转下降幂（后面会说）

$$\boxed{n^k=\sum_{i=0}^k{k\brace i}n^{\underline i}}$$

套二项式反演（你也可以看成套了一个容斥），然后变成

$${n\brace m}=\dfrac1{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\dbinom mi(m-i)^n$$

是不是卷积的形式 .

于是可以 $O(n\log n)$ 卷积求一行 .

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伯努利数相关：

伯努利数 $\{B\}$ 是如下定义的有理数序列：

$$\sum_{i=0}^n\dbinom{n+1}iB_i=0$$

其中 $B_0=1$ .

然后可以根据定义 $O(n^2)$ 求 .

我们考虑整出它的 EGF .

显然式子是不是可以改成

$$\sum_{i=0}^n\dbinom{n+1}iB_i=[n=0]$$

做一些平凡的操作：

$$\begin{aligned}&\sum_{i=0}^n\dbinom{n+1}iB_i=[n=0]\\\Longleftrightarrow&\sum_{i=0}^{n+1}\dbinom{n+1}i=B_{n+1}+[n=0]\\\Longleftrightarrow&\sum_{i=0}^{n}\dbinom ni=B_{n}+[n=1]\\\Longleftrightarrow&\dfrac{B_n}{n!}+[n=1]=\sum_{i=0}^n\dfrac1{(n-i)!}\cdot\dfrac{B_i}{i!}\end{aligned}$$

这就有点 EGF 的样子了，改成 EGF 的形式：

$$\operatorname B(x)+x=\operatorname B(x)\exp(x)$$

然后显然就有

$$\boxed{\operatorname B(n)=\dfrac{x}{\exp(x)-1}}$$

于是可以一次求逆做到 $O(n\log n)$ 求一行 求前 $n$ 项 .

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目录

• 自然数幂和
• 做法
  • 插值
  • 第二类斯特林数
  • 伯努利数

自然数幂和

（题目链接：CF622F）

求

$$S_k(n)=\sum_{i=0}^ni^k$$

做法

插值

差分一次变成 $n^k$，显然是 $k$ 次的 .

然而众所周知差分一次次数减一，于是 $S_k$ 是 $k+1$ 次的 .

暴力算出前 $k$ 个点值然后插值即可，复杂度取决于你怎么插值 .

upd. $O(1)$ 固定指数快速幂大家是不是都会啊，前面说的是求系数的复杂度，如果求单点当然是插值最快 .

How to solve it?

显然 $f(n)=n^k$ 是完全积性函数 .

素数处暴力算，别的地方线性筛即可，代码特别好写 .

预处理 $O(n)$，询问 $O(1)$ .

系数咋求：

1. 快速插值 $O(n\log^2n)$ .
2. 下降幂多项式形式（斯特林数相关）$O(n\log n)$ .
3. 普通多项式形式（伯努利数相关）$O(n\log n)$ .

下面说后面两个 .

第二类斯特林数

普通幂转下降幂：

$$\boxed{n^k=\sum_{i=0}^k{k\brace i}n^{\underline i}}$$

证明：考虑组合意义即可，LHS 是子集数，RHS 相当于枚举非空子集数然后算贡献 .

根据小学生就会的裂项，我们可以算出下降幂和：

$$\begin{aligned}S_{\underline k}(n)&=\sum_{i=0}^kn^{\underline i}\\&=\dfrac1{k+1}\sum_{i=0}^n((i+1)^{\underline{k+1}}-i^{\underline{k+1}})\\&=\dfrac1{k+1}(n+1)^{\underline{k+1}}\end{aligned}$$

然后把两个式子结合到一起，就变成

$$\boxed{S_k(n)=\sum_{i=0}^k\dfrac1{i+1}{k\brace i}(n+1)^{\underline{k+1}}}$$

第二类斯特林数求一行可以 $O(n\log n)$ .

这个方法如果 $n$ 是合数，那么下降幂和 $\dfrac1{i+1}$ 显然可以约分（根据抽屉原理），然后就不需要任何逆元操作了 .

伯努利数

!!!!!! 如果你不知道 EGF 是啥，有一个 归纳做法 .

一篇奥妙重重的博客 link，看起来很牛逼，然而我并不懂 .

以下可能比较清晰 .

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为了后面写着方便，把 $n$ 自减，即定义 $\displaystyle S'_k(n)=\sum_{i=0}^{n-1}i^k$ .

众所周知伯努利数的 EGF 为

$$\operatorname B(n)=\dfrac{x}{\exp(x)-1}$$

然后我们拿出 $S'_k$ 的 EGF：

$$\begin{aligned}\sum_{k\ge 0}\dfrac{x^k}{k!}S'_k(n)&=\sum_{k\ge 0}\dfrac{x^k}{k!}\sum_{i=1}^{n-1}i^k\\&=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k\ge 0}\dfrac{i^kx^k}{k!}\\&=\sum_{i=1}^{n-1}\exp(xi)\\&=\dfrac{\exp(nx)-1}{\exp(x)-1}\end{aligned}$$

然后发现这个 EGF 和伯努利数 EGF 挺像，于是改一下形式：

$$\dfrac{\exp(nx)-1}{\exp(x)-1}=\dfrac{x}{\exp(x-1)}\cdot\dfrac{\exp(nx)-1}{x}$$

然后我们就可以拆成一个伯努利数 EGF 乘一个指数的 EGF .

提取系数：

$$\begin{aligned}\left[\dfrac{x^k}{k!}\right]\sum_{k\ge 0}\dfrac{x^k}{k!}S'_k(n)&=\left[\dfrac{x^k}{k!}\right]\left(\left(\sum_{k\ge 0}\dfrac{x^k}{k!}B_k\right)\left(\sum_{k\ge 0}\dfrac{x^k}{k!}n^{k+1}\right)\right)\\&=k!\sum_{i=0}^k\dfrac{B_i}{i!}\cdot\dfrac{n^{k+1-i}}{(k+1-i)!}\\&=\dfrac1{k+1}\sum_{i=0}^k\dbinom{k+1}iB_in^{k+1-i}\\&=\dfrac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\dbinom{k+1}{i}B_{k+1-i}n^i\end{aligned}$$

即

$$\boxed{S'_k(n)=\dfrac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\dbinom{k+1}{i}B_{k+1-i}n^i}$$

如果转成一般用的 $S_k$，柿子的形式可以看 here .