筛 sigma_k

问题

定义 $\sigma_k(n)$ 表示 $n$ 的所有约数的 $k$ 次方和，即

$$\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k$$

问题：求 $\sigma_k(1),\sigma_k(2),\cdots,\sigma_k(n)$ .

线性筛

• 素数：直接 $k$ 次方 .
• 没有的素因子：乘 $k$ 次方 .
• 素因子：除掉再 $k$ 次方 .

看不懂可以看 BZOJ2813 题解 .

杜教筛

令 $\operatorname{Id}_k(n)=n^k$，则由定义：

$$\mu*1=\mathrm{Id}_k$$

$$\sigma_k=1*\mathrm{Id}_k$$

于是

$$\mu*\sigma_k=\mathrm{Id}_k$$

杜教筛即可 .

或者 Powerful Number 筛，但是我不会 .

复杂度不会算 .