不包含任何模式串的字符串个数

题目描述

生成一个长度为 $n$，字符集为 $\Sigma$ 的字符串 $S$ .

给定若干模式串 $s_{1\dots m}$，要求 $S$ 中不能有任何一个子串为模式串 .

问字符串 $S$ 的个数 .

答案对 $P$ 取模，$P$ 不超过 $2^{31}$ .

数据范围：

• Task 1. $n\le 60$，$m\le 100$，$|s|\le 100$（JSOI2007 文本生成器） .
• Task 2. $n\le 10^9$，$m\le 20$，$\sum|s|\le 20$（HNOI2008 GT考试 加强版） .

$|\Sigma|\le 10$ .

咋做

首先建出模式串的 AC 自动机（不妨记转移函数为 $trans$） .

考虑 DP，令 $dp_{i,j}$ 表示串长为 $i$，在 AC 自动机上走到编号为 $j$ 的节点的合法串个数 .

则在 AC 自动机上走一步即可完成转移：

$$\large dp_{i+1, trans(j, c)} = \sum dp_{i,j}\qquad (c\in\Sigma)$$

暴力 DP，时间复杂度 $O(|\Sigma|n\sum|s|)$ .

大概这么写：

dp[0][0] = 1;
for (int i=0; i<n; i++)
	for (int j=0; j<=cc; j++)
		for (int k=0; k<Sig; k++)
			if (!mark[tr[j][k]]) dp[i+1][tr[j][k]] = (dp[i+1][tr[j][k]] + dp[i][j]) % P;

Task 1 完美解决 .

然而我们发现 $i$ 这个玩意和内层转移几乎没关系，只是为了保证转移顺序 .

也就是说这玩意相当于进行了 $i$ 次内层转移，$i$ 一维枚举根本没用 .

所以我们构建出内层转移矩阵，然后快速幂即可 .

设 AC 自动机大小为 $c$，则 DP 部分时间复杂度为 $O(c^3\log n)$ .

Task 2 完美解决 .