Border Theory

主要是抄论文。。

目录

• I. 基础定义
  • 基本定义
  • Period 与 Border
  • 前缀函数 / KMP 自动机
  • KMP 算法
  • Border 树 / 失配树
• II. 性质与定理
  • 关于周期的基本定理
  • Border 的结构
  • Prefix-Suffix (PS)
• III. 一些问题
  • 子串周期查询
  • Internal Pattern Matching (IPM)
  • 子串循环同构判定
• Reference

I. 基础定义

基本定义

假设都知道串串是啥 .

其实正片文章都在混淆字符串 $S$ 和字符串 $S$ 的长度 $|S|$，意会一下 .

约定：

• $S$ 的长度是 $|S|$ .
• $\Sigma$ 是字符集 .
• $s[l:r]$ 是子串 $[l,r]$ .
• $s[i]$ 是 $s$ 的第 $i$ 个字符，$s_i$ 也是 .
• 字符串 $A,B$ 拼接：$AB$.
• $S$ 长度为 $k$ 的前缀、后缀：$\operatorname{pre}(S,k)$，$\operatorname{suf}(S,k)$ .
• 然后如果一个 $p$ 满足对一个串串 $S$ 都有 $s_i = s_{i+p}$，则 $p$ 是 $S$ 的一个周期（period），若 $p\mid n$ 则称为整周期 .
• $p$ 的最小周期的长度记为 $\operatorname{per}(u)$ .

---

若俩字符串 $S, T$ 满足：

• $S\neq T$ .
• $S$ 即是 $T$ 的前缀又是后缀 .

则称 $S$ 是 $T$ 的一个 border .

定义 $\operatorname{border}(S)$ 表示 $S$ 的所有 border 构成的集合 .

$S$ 长度最长的 border 记作 $\operatorname{maxbd}(S)$ .

后面叙述大概隐含一个 原串 $S$，所有 border 都是 $S$ 的 border .

Period 与 Border

$S[1:p]$ 是 $S$ 的 border $\Longleftrightarrow$ $|S|-p$ 是 $S$ 的周期，如图（或者看 这个） .

前缀函数 / KMP 自动机

因为 $S$ 的所有 border 都是 $S$ 的前缀，所以我们可以用一个下标表示出来 .

定义 $\pi_i$ 表示 $S[1:i]$ 的最长 border 长度 .

有可能你会发现 $\pi$ 就是只有一个串串 $S$ 的 AC 自动机的 fail 指针 .

然后显然有

定理 $\mathbf 1$

$$\operatorname{border}(S) = \operatorname{border}(\operatorname{maxbd}(S)) + \operatorname{maxbd}(S)$$

这个非常显然吧 .

然后显然 border 的 border 还是 border，所以我们不断跳这个 $\pi$ 就能求出全部 border 了 .

习题：Seek the Name, Seek the Fame .

KMP 算法

这块可以跳过去 .

KMP 大概就是 AC 自动机跳的过程

习题：

• 洛谷模板 - KMP .
• HNOI2008 GT考试 .

Border 树 / 失配树

对于每个 $u$，连边 $u\leftrightarrow \pi_u$，就成了 border 树（或者叫失配树）.

然后剩下的就看题吧 .

---

洛谷模板 - 失配树

一个串串 $S$，多组询问，求两个前缀的最长公共 border .

border 树上每个点的祖先都是它的 border .

然后点的定义就是前缀 .

于是题目要求的这玩意就是 border 树上 LCA，没了 .

---

POI2006 OKR-Periods of Words

求给定字符串所有前缀的最大周期长度之和 .

周期和 border 对应，于是问题转换为求每个前缀的最小非空 border .

是不是就是 border 树上最浅祖先啊，暴跳就完了 .

---

NOI2014 动物园

求 $S$ 的每个前缀 $\leq$ 长度一半的 border 个数 .

当时学 KMP 的时候就是混过去的，现在终于知道咋做了，，，

建出 border 树，然后因为答案具有单调性，可以分两种做法：

1. 倍增 .
2. 大概是做一个限制长度的 KMP，然后复杂度可以均摊？？

II. 性质与定理

关于周期的基本定理

定理 $\mathbf 2$（Weak Periodicity Lemma，WPL）

一个字符串 $S$，若其有长度为 $p$ 和 $q$ 的周期，且 $p+q \leq |S|$，则 $S$ 有长度为 $\gcd(p,q)$ 的周期 .

不失一般性，设 $p>q$，考虑证明 $p-q$ 也是周期，就可以辗转相减搞出 $\gcd$ 了 .

根据 period 的定义，$\forall i$:

• 当 $i\le q$ 时，$s_i=s_{i+p}=s_{i+p-q}=s_{i+(p-q)}$ .
• 当 $i>q$ 时，$s_i=s_{i-q}=s_{i-q+p}=s_{i+(p-q)}$ .

即 $\forall i$。$s_i = s_{i+(p-q)}$，从而 $p-q$ 是周期 .

Q.E.D.

Bonus:

Periodicity Lemma

一个字符串 $S$，若其有长度为 $p$ 和 $q$ 的周期，且 $p+q-\gcd(p,q) \leq |S|$，则 $S$ 有长度为 $\gcd(p,q)$ 的周期 .

---

定理 $\mathbf 3$

对于串串 $u,v$，若 $2|u|\geq|v|$ ，则 $u$ 在 $v$ 中的匹配位置必为等差序列 .

显然只需要考虑匹配至少 $3$ 次的情况 .

考虑 $u$ 在 $v$ 中的第 $1,2$ 次匹配 $u_1,u_2$，还有随便一个匹配 $u_x$ .

设 $u_1,u_2$ 间距为 $d$，$u_2,u_x$ 间距为 $x$，如图 .

(因为 cnblogs 的 $\TeX$ 不支持 \xleftrightarrow 于是换成图片了）

不难发现 $d,q$ 都是 $u$ 的周期，于是根据 WPL，$r = \gcd(d,q)$ 亦然 .

设 $u$ 的最小周期为 $p\le r$，显然 $p\mid r\mid d$，可以考虑反证法 WPL .

然而 $d$ 显然是 $u_1\cup u_2$ 的周期，于是 $p$ 也是 $u_1\cup u_2$ 的周期吧 .

若 $p<d$，将 $u_1$ 右移 $p$ 又形成一次匹配，矛盾！

于是显然可以推出 $p=d$ .

又 $d = p\le r = \gcd(d,q)$，从而 $d\mid q$ .

看看 $d\mid q$ 意味着啥？是不是就证完了 .

Q.E.D.

推论（？）：

对于串串 $u,v$，若 $2|u|\geq|v|$ ，则 $u$ 在 $v$ 中的匹配位置形成等差序列 .

若它的项数不小于 $3$，则其公差等于 $u$ 的最小周期 .

Border 的结构

定理 $\mathbf 4$

$S$ 的长度不小于 $|S|/2$ 的 border 长度构成一个等差序列 .

设长度最大的 border 为 $n-p$ ，另一个 border 长度为 $n-q$（即 $p,q$ 是周期，且均有 $p,q\leq n/2$ .

由 WPL 得 $\gcd(p,q)$ 也是 $S$ 的周期，所以存在长度为 $n-\gcd(p,q)$ 的 border .

根据 $n-p$ 为最长 border 的假设，要满足 $\gcd(p,q)\geq p$ 即 $p\mid q$ .

这个整除意味着等差序列，和上面那个 定理 $\mathbf3$ 类似 .

---

长度小的 border？

定理 $\mathbf 5$

$S$ 的所有 border 长度构成 $O(\log |S|)$ 个等差序列 .

首先，将该串的长度达到 $n/2$ 的 border 划分成一个等差序列 .

然后取出长度最小的 border $T$ .

然后可以证明 $|T|\le \dfrac 34|S|$，如下 .

• 若最小循环节 $d\leq |S|/4$，不断从最长 border 减去 $d$ 则必然有 $|T|\le \dfrac 34|S|$ .
• 若最小循环节 $d>|S|/4$，则直接证完 .

然后根据我们平凡的 定理 $\mathbf 1$，其他 border 都是这个 $T$ 的 border，于是每次缩小 $3/4$，就是 $\log$ 级别的了 .

Q.E.D.

Bonus：更紧的界：$\lceil\log|S|\rceil$ .

Prefix-Suffix (PS)

将 $s$ 的所有 border 按长度分类：

$$x\in[1,2),[2,4),[4,8),\cdots,,[2^{k-1},2^k),[2^k,n)$$

若 $|u|=|v|$，记 $\operatorname{PS}(u,v)=\{k:\operatorname{pre}(u,k) = \operatorname{suf}(v,k)\}$ .

是不是很像 border！！

然后令 $\operatorname{LargePS}(u,v) = \{k\in\operatorname{PS}(u,v):k\ge |u|/2\}$ .

则 $S$ 在 $[2^{i-1},2^i)$ 内的 border 长度集合就是 $\operatorname{LargePS}(\operatorname{pre}(S,2^i),\operatorname{suf}(S,2^i))$ .

定理 $\mathbf 6$

$\operatorname{LargePS}(u,v)$ 构成一个等差数列 .

都是 $\operatorname{pre}(u,\max\{\operatorname{LargePS}(u,v)\})$ 的 border，可以看金策大爷的图 .

然后我们发现 定理 $\mathbf 5$ 其实是这玩意的推论 .

III. 一些问题

子串周期查询

一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，每次询问一个子串 $t$ 的所有周期 .

用 $O(\log)$ 个等差序列表示 .

所有周期等价于询问所有 border .

按 border 长度 $x$ 分类：

• Case 1. $x\in[2^{i-1},2^i]$ .
• Case 2. $x\in[2^k,r-l+1]$ .

根据前面说的啥 $\operatorname{PS}$，我们可以知道 Case 1 就是要求 $\operatorname{LargePS}(\operatorname{pre}(t,2^i),\operatorname{suf}(t,2^i))$ .

若 $u$ 是一个 Large Prefix-Suffix (LargePS)，则 $\operatorname{pre}(t,2^i)$ 是 $u$ 的前缀，$\operatorname{suf}(t,2^i)$ 是 $u$ 的后缀 .

求出 $\operatorname{pre}(t,2^{i-1})$ 在 $\operatorname{suf}(t,2^i)$ 中匹配的所有位置，还有 $\operatorname{suf}(t,2^{i-1})$ 在 $\operatorname{pre}(t,2^i)$ 中匹配的所有位置，移位取交集即可 .

Case 2: 因为 $L=2^k\ge m/2$，所以我们的任务 — 求出 $t$ 的所有长度不小于 $L$ 的 border，是不是就是求 $\operatorname{PS}_{\ge L}(t,t)$ 啊，和 Case 1 做法相同 .

然后我们看看具体怎么做：

---

Task 1. 怎么求出匹配的所有位置？？？

Internal Pattern Matching (Easy ver.)

一个字符串 $u$，多次询问，每次给出其两个子串 $v,w$（满足 $2|v|\ge |w|$），询问 $u$ 在 $v$ 中的所有匹配位置 .

特殊性质：$v$ 是 $2$ 的幂 .

也就是要实现一个 $\operatorname{succ}(v,i)$，能求出 $v$ 在 原串 $s$ 中起点不小于 $i$ 的第一次匹配（以及反过来的 $\operatorname{prev}(v,i)$）.

因此只需要把 $s$ 中所有长度为 $2$ 的次幂的子串拉出来排序，相同的子串按起始位置排序即可 .

这个过程类似于倍增求 SA .

然后查 $\operatorname{succ}$ 的时候二分就完了 .

---

Task 2. 等差序列取交集？？？

可以证明俩等差序列公差相等，具体比较牛逼，看金策大爷的课件吧 .

---

于是我们目前做到的是：

• 空间 $O(n\log n)$ .
• 预处理 $O(n\log n)$，询问 $O(n\log^2 n)$ .
• 在线 .

的算法 .

一个小优化：

注意到 $\operatorname{succ}$ 询问时只关系起点在 $[i,i+|v|]$ 的匹配 .

于是将 $s$ 按 $|v|$ 的间隔分段，每段是一个等差数列 .

所有非空段的东西丢进 Hash Table，就可以单次一个 $\log$ 了 .

预处理期望 $O(n\log n)$ .

子串周期查询可以在 BJWC Border 的四种求法 测（题目要求区间最大 Border 长度）.

Internal Pattern Matching (IPM)

一个字符串 $S$，多次询问，每次给出其两个子串 $u,v$（满足 $2|u|\ge |v|$），询问 $u$ 在 $v$ 中的所有匹配位置 .

我们是不是解决了 $u$ 是二的幂的情形，而且还做到了 $O(1)$ 询问？

如果不是你就等差数列移位求交集，复杂度变成询问 $O(\log n)$ .

等差数列移位求交集的过程是不是类似 ST 表啊

子串循环同构判定

一个字符串 $S$，多次询问，每次给出其两个长度相等的子串 $u,v$，询问 $u,v$ 是否循环同构 .

如果是就输出所有移位长度（表示成等差序列） .

我会最小表示法！

几个平凡的结论：

1. 一个串串 $s$ 的最小周期是 $p$，如果 $p\mid n$，则 $s$ 只有 $p$ 个本质不同的循环移位，每种出现 $n/p$ 次 .
2. $s,t$ 循环同构 $\Longleftrightarrow$ $s$ 是 $tt$ 的子串 .

根据第二个是不是 IPM 判定就好了？

然后我们看看怎么求所有移位长度 .

---

设 $u=ab$，$v=ba$，不失一般性，令 $|a|\ge|u|/2$ .

记 $w=\operatorname{pre}(a,\lceil|u|/2\rceil)$，IPM 查询 $w$ 在 $v$ 中出现的所有位置 $j_{1\dots m}$（是一个公差为 $q$ 的等差序列）

根据 定理 $\mathbf 3$ 的推论，当 $m\ge 3$ 时，$q=\operatorname{per}(w)$ .

设

• $u$ 最长的拥有周期 $q$ 的前缀长度为 $d_u$ .
• $v[j_1:|v|]\cdot v$ 最长的拥有周期 $q$ 的前缀长度为 $d_v$ .

于是 $j_t$ 是合法起始点的必要条件就是 $\min\{|u|,d_v-(i-1)q\} = d_u$ .

然后就可以轻易 $O(1)$ 求移位长度了 .

Reference

• 前缀函数与 KMP 算法 - OI Wiki
• border 理论小记 - command_block
• Border Theory - SyadouHayami
• 金策《字符串算法选讲》
• 吴孟周《字符串算法基础》