整除分块套杜教筛为什么是 O(n^2/3) 的

假设我们要筛一个东西叫做 $f$ .

记

$$D(n)=\left\{n,\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac n3\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac n4\right\rfloor,\cdots\right\}$$

那么我们知道杜教筛在计算 $f(n)$ 时实际上是对 $D(n)$ 中的所有数都计算了一遍 $f(n)$ 并存入了缓存 .

然而我们整除分块的过程就是求 $D(n)$ 里面这些东西，所以说实际上只筛了一次 $f$，其他全部在查表 .

于是复杂度是 $O(n^{2/3})$ .

Reference: https://mivik.blog.luogu.org/mivik-round-4-solution-dream