LGV 引理

（其实是贺的：https://www.luogu.com.cn/paste/whl2joo4）

目录

• LGV 引理
• 不相交路径计数
• 例题
  • Luogu6657. 【模板】LGV 引理
  • CF348D Turtle
  • Monotonic Matrix
• 习题
• Reference

LGV 引理

LGV 引理，即 Lindström–Gessel–Viennot lemma .

一个带权 DAG $G$ 中有起点集 $A=\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$，终点集 $B=\{b_1, b_2, \cdots, b_n\}$ .

不相交路径定义为：一组 $u\to v$ 的不相交路径 $P=(P_1,P_2,\cdots,P_n)$，满足 $P_i$ 是一条 $a_i$ 到 $b_{\sigma(P)_i}$ 的路径，其中 $\sigma(P)$ 是 $P$ 对应的排列 .
且对于任意 $i\neq j$，$P_i, P_j$ 无公共点（即不相交）

令 $\omega(P)$ 为路径 $P$ 上所有边权的积 .

对顶点 $u,v$，定义

$$e(u,v) = \sum_{P:a \to b}{\omega(P)}$$

令 $\tau(p)$ 表示排列 $p$ 的逆序对个数 .

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令矩阵

$$M=\begin{bmatrix}e(a_1, b_1) & e(a_1, b_2) & \cdots & e(a_1, b_n) \\ e(a_2, b_1) & e(a_2, b_2) & \cdots & e(a_2, b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e(a_n, b_1) & e(a_n, b_2) & \cdots & e(a_n, b_n)\\\end{bmatrix}$$

则有

$$\boxed{\det(M)=\sum_{P:A\to B}{(-1)^{\tau(P)}\prod_{i=1}^{n}\omega(P_i)}}$$

证明：

展开行列式的定义，得 LGV 引理等价于

$$\sum_p (-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^ne(a_i, b_{p(i)})=\sum_{P:A\to B}{(-1)^{\tau(P)}\prod_{i=1}^{n}\omega(P_i)}$$

其中 $p$ 是一个 $1$ 到 $n$ 的排列 .

妈呀左右两边长得这么像！

观察组合意义！我们可以发现：

• LHS 其实就是选 $n$ 条起点和终点分别互不相同的路径，然后把他们的带符号和加起来 .
• RHS 几乎一样，只不过 $\displaystyle \sum_p$ 变成了 $\displaystyle \sum_{P:A\to B}$，也就是要求路径不相交 .

故我们考虑构造双射 .

如果两个人的路径相交了，我们可以将相交后的部分取反，就相当于这两人分别走到了对方的终点去 . 这样是不是就不交了！！

upd. 好像有问题 .

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AJH 大佬说边权只要是交换环就行，也就是说可以是 GF .

太强了 orz

不相交路径计数

LGV 引理的直接应用 .

有一个图 $G$ 是 平面图 且是 DAG .

从每个 $a_i$ 到 $b_i$，在满足路径不交的前提下，所有方案中路径边权乘积之和 .

是不是就是板子啊 .

你用一种方法算出 $e$，然后是不是构造出 $M$ 高斯消元求行列式就完了 .

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为什么要是平面图？

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一般的 LGV 题符合要求的匹配只有一组（e.g. 网格图），因此按照匹配的顺序列矩阵求出的就是不交路径数量 .

然而如果不是平面图，直接求 $\det(M)$ 其实并不一定是不交路径数量 .

具体可以看 NOI2021 路径交点 .

例题

Luogu6657. 【模板】LGV 引理

link: https://www.luogu.com.cn/problem/P6657

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一个 $n\times n$，每步只能往右下走 .

$m$ 个棋子，初始在 $(a_i,1)$，要到 $(b_i,n)$ .

求不交路径方案数，对 $998244353$ 取模 .

不相交路径计数 弱化版 .

显然对于任何一个路径，$\omega(P)=1$，这样我们才能计数嘛 .

因为是网格图，所以拿出我们老生常谈的网格图两点路径计数：

$$e(u,v)=\dbinom{v-u+n-1}{n-1}$$

（因为从 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 的方案数是 $\dbinom{x_2-x_1+y_2-y_1}{x_2-x_1}$）

然后预处理阶乘及其逆元算 binom，然后高斯消元求行列式就完了 .

时间复杂度 $O(n+m^3)$ .

CF348D Turtle

link: https://codeforces.com/contest/348/problem/D

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网格图去掉一些点，两个点从 $(1,1)$ 走到 $(n,m)$，求不交路径数取模 $10^9+7$ .

大力 LGV 引理 .

把两个相同起始点拆开，起点拆成 $(1,2)$，$(2,1)$，终点拆成 $(n-1,m)$，$(n,m-1)$ .

然后 LGV 引理可得一个二阶行列式，对角线法则乘开即可 .

然后变成带限制路径计数，做四遍 DP 即可 .

时间复杂度 $O(nm)$ .

Monotonic Matrix

link: https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/A
求满足以下条件 $n\times m$ 矩阵的数量：

• $A_{i,j}\in\{0, 1, 2\}$ .
• $A_{i,j}\le A_{i,j+1}$，$A_{i,j}\le A_{i+1,j}$ .

对 $10^9+7$ 取模 .

从起点 $(0,0)$ 终点 $(n,m)$ 画一条非降路径，然后 $0,1$ 是沿着网格走的过程 .

从起点 $(-1,1)$ 终点 $(n-1,m+1)$ 画一条非降路径，然后 $1,2$ 是沿着网格走的过程 .

然后用 LGV 引理算出不交的路径的方案数即可 .

然而这玩意也是二阶行列式，就是几个组合数乘一下减一下 .

时间复杂度在于求组合数 .

习题

• 所有例题 .
• HDU5852 Intersection is not allowed!（板子）
• NOI2021 路径交点 .
• ABC216H Random Robots
• 牛客多校 Cells .

Reference

• 【题解】洛谷 P6657 【模板】LGV 引理 - wsyhb
• 浅谈LGV引理 - TheLostWeak
• LGV 引理 - OI Wiki
• NOI 2021 D1T2 题解 - ix35
• [整理]LGV 引理 - ajthreac
• LGV 引理——二维DAG上 n 点对不相交路径方案数 - DD(XYX)
• 2018牛客多校第一场 Monotonic Matrix (LGV引理)