丽泽普及2022交流赛day19 半社论

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No Problem

暴力

Str

存在循环节，大力找出来即可，长度显然不超过 \(10^3\) .

Not TSP

题面

TSP 问题，但是游览第 \(u\) 个点要满足下列条件之一

1. \(1\dots u-1\) 均被游览过 .
2. \(1\dots u-1\) 均未被游览过 .

题解

肯定是先往左跳然后往右填 .

dp 一下就好了 .

\(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 跳到 \(j\) .

代码

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
template<typename T>
inline int chkmin(T& a, const T& b){if (a > b) a = b; return a;}
template<typename T>
inline int chkmax(T& a, const T& b){if (a < b) a = b; return a;}
const int N = 1555;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
ll n, d[N][N], dp[N][N], s[N], pre[N];
inline ll gg(int l, int r){return max(0ll, s[r-1] - s[l-1]);}
int main()
{
	scanf("%lld", &n);
	for (int i=1; i<=n; i++)
		for (int j=1; j<=n; j++) scanf("%lld", d[i]+j);
	for (int i=1; i<=n; i++) s[i] = s[i-1] + d[i-1][i];
	for (int i=0; i<=n; i++){dp[0][i] = s[i]; d[0][i] = d[1][i];}
	for (int i=2; i<=n; i++)
	{
		for (int j=0; j<i-1; j++) dp[j][i] = dp[j][j+1] + s[i] - s[j+1];
		dp[i-1][i] = INF;
		for (int j=0; j<i-1; j++) chkmin(dp[i-1][i], dp[j][i-1] + d[j][i]);
	}
	ll ans = INF;
	for (int i=1; i<n; i++) chkmin(ans, dp[i][n]);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
} 

Game

题面

Alice 和 Bob 在做游戏 .

平面上有 \(n\) 个点，Alice 先手，每次每个人需要画一条平行于 \(x\) 或 \(y\) 轴的一条直线，穿过前一条直线穿过的某个点 . 不能画与之前直线重合的直线 . 不能操作的人输 .

问谁必胜 .

题解

如果有一个点 \(x,y\)，就连一条边 \(x\to y\)，这相当于是两条直线在转移 .

于是问题就等价于 Alice 和 Bob 在这张图上走，走过的点不能再走 .

然而我们把 \(x,y\) 取出来，会发现这玩意其实是一个二分图 .

这个有一个结论：后手必胜当且仅当图有完备匹配 .

证明：

如果有匹配：Alice 每动一步 Bob 就跑去它的匹配点，这样最后 Alice 就无路可走了 .

若不然：Alice 选一个不在匹配中的点，Bob 会选一个在匹配中的点，这样 Alice 就可以用上面的策略取胜了 .

代码

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
template<typename T>
inline int chkmin(T& a, const T& b){if (a > b) a = b; return a;}
template<typename T>
inline int chkmax(T& a, const T& b){if (a < b) a = b; return a;}
const int N = 1555;
template<typename T>
struct pool
{
	unordered_map<T, unsigned> pol;
	unsigned cc = 0;
	unsigned get(T x)
	{
		auto ptr = pol.find(x);
		if (ptr == pol.end()){pol[x] = ++cc; return cc;}
		else return ptr -> second;
	}
};
pool<int> T;
int n, vis[N], L[N], R[N];
vector<int> g[N];
set<int> vx, vy;
inline void addedge(int u, int v){g[u].emplace_back(v);}
bool dfs(int u, int t)
{
	if (vis[u] == t) return false;
	vis[u] = t;
	for (int v : g[u])
		if (!L[v] || dfs(L[v], t)){L[v] = u; R[u] = v; return true;}
	return false;
}
inline void match(){for (int i=1; i<=n; i++) dfs(i, i);}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i=1, x, y; i<=n; i++)
	{
		scanf("%d%d", &x, &y);
		x = T.get(x); y = T.get(y);
		vx.insert(x); vy.insert(y);
		addedge(x, y);
	}
	if (vx.size() != vy.size()){puts("Alice"); return 0;}
	match();
	for (int i : vx) if (!R[i]){puts("Alice"); return 0;}
	for (int i : vy) if (!L[i]){puts("Alice"); return 0;}
	puts("Bob");
	return 0;
}