丽泽普及2022交流赛day16 社论
这场比较平凡吧 .
省流:
http://zhengruioi.com/contest/1087
目录
时间复杂度瞎算的 .
A. Gene
题面
俩字符串 \(s,t\),在 \(s\) 中加点字符,使 \(t\) 是 \(s\) 的子串 .
插字符 \(ch\) 有代价 \(c_{ch}\) .
字符集 \(\{\texttt A,\texttt C,\texttt G,\texttt T\}\) .
题解
算法一(正解)
考虑 dp,令 \(dp_{i,j}\) 表示 \(s\) 以 \(i\) 结尾的后缀与 \(t\) 相等的最小代价 .
转移考虑丢掉(换一个)或接续即可 .
时间复杂度 \(O(|S||T|)\),可以滚动数组 .
算法二
扫一遍 \(s\),暴力匹配 \(t\),如果失配了就加字符 .
是不是非常简单,和那个 dp 时间复杂度一模一样 .
时间复杂度 \(O(|S||T|)\) .
B. Fight
题面
为了争夺金坷垃, \(n\) 个人要打 \(m\) 场架,第 \(i\) 场是第 \(a_i\) 个人和第 \(b_i\) 个人打。
主办方突然想把这些人分成日日阵营和非非阵营(每个人都属于某一个阵营),使得只有阵营间的人会打架。但是安排已经决定,要更改安排需要时间。
你需要求出在最优的阵营划分方案中,出现两个相同阵营的人的战斗最晚是在哪一场。(数据保证一定会出现这种情况)
题解
算法一(正解)
种类并查集,非常容易 .
时间复杂度 \(O(n\alpha(m))\) .
算法二
考虑二分答案,于是问题变成判定是否可以划分阵营 .
等价于二分图判定,黑白染色即可 .
时间复杂度 \(O((n+m)\log m)\) .
算法三
依然二分答案 .
然后可以 2-SAT 做,有个老哥这么干 \(80pts\) 超时了(悲) .
时间复杂度 \(O((n+m)\log m)\) .
C. Pastry
题面
\(n\) 个宽度相同的块相邻摆放 .
将第 \(i\) 个块 \(a_i\) 等分,问有多少个本质不同的分界点 .
题解
算法一(SoyTony)
令 \(m =\max\{a_i\}\)
拆一下 .
考虑 \(f(x)\) 表示 \(x\) 与 \(x\) 的所有约数的分界点不同的个数 .
然后可以枚举因子 \(O(m\log m)\) 递推 .
然后对于每个 \(a_i\) 把她和她的约数(去重)的 \(f\) 全加起来就好了 .
这一步枚举因子是 \(O(m\log m)\) .
总时间复杂度 \(O(m\log m)\) .
关于 \(f\) 的一些研究
这个 \(f\) 的表达式是
通过打表得到 \(f(n)=\varphi(n)-[n=1]\),回代也发现成立
过程
众所周知 \(\displaystyle \sum_{d\mid n}\varphi(n)=n\) .
于是带入,得
这个 \(\sum\) 有两个非常鬼畜的东西,一个是 \(d\neq n\),一个是 \([n=1]\) .
把 \(1,n\) 单独处理得
恒成立 .
能否从递推式直接得到通项还是未解之谜 .
破案了,从 Dirichlet 卷积的角度看 .
FZ 神仙的做法
令 \(g(x) = f(x)-[n=1]\) .
于是
即
即 \(g*I=\mathrm{id}\),显然 \(g=\varphi\) .
从而 \(f(x)=\varphi(x)-[n=1]\) .
wangrx 神仙的做法
直接写成 Dirichlet 卷积形式,
化简得
因为 \(I^{-1}=\mu\),于是
即 \(f(x)=\varphi(x)-[x=1]\) .
其他
《贝尔级数》
《狄利克雷生成函数》
于是似乎就可以线性筛了(?)然而复杂度不变 qwq .
大概这种含 \(\displaystyle\sum_{d\mid n}\) 的东西就向 Dirichlet 卷积靠吧 .
D. Conference
题面
给一个序列 \(\{a_n\}\) .
对于每个 \(1\le s\le n\) 回答询问:
- 最小的使得序列 \(\left\{\left\lfloor \dfrac{a_i}k\right\rfloor\right\}\) 存在 \(s\) 个重复元素(最多)的 \(k\)(若不存在输出
-1
)
题解
算法一(SoyTony)
众所周知 \(\left\lfloor \dfrac nk\right\rfloor\) 只有 \(O(\sqrt n)\) 个取值 .
然后整除分块出每个 \(a_i\) 的取值块左端点并丢到一个 std::set
里 .
然后遍历那个 std::set
算一下情况下有多少个相同元素就完了 .
时间复杂度 \(O(玄学_1\sqrt{玄学_2}\log 玄学_3)\) .
以下是博客签名,正文无关
本文来自博客园,作者:Jijidawang,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/15880038.html
版权声明:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议(CC BY-NC-SA 4.0)进行许可。看完如果觉得有用请点个赞吧 QwQ