调和级数为什么是 O(logn) 的

调和级数

调和级数(Harmonic series)定义为

H(n)=i=1n1i

H 发散,证明看百度 .

正片

首先我们把 1n 拆成积分形式

1n=nn+11xdx

于是

H(n)=i=1n1i=i=1nii+11xdx

上下界是 i,i+1,显然可以合并

H(n)=1n+11xdx

拆一下

H(n)=1n+1(1x+1x1x)dx=1n+11xdx+1n+1(1x1x)dx

左边是众所周知的积分,右边是一个魔法 .

右边有一个神秘结论(收敛):

γ=limn1n(1x1x)dx=0.577

于是,

H(n)ln(n+1)+γ=O(logn)

Q.E.D.

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