调和级数为什么是 O(logn) 的

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调和级数

调和级数（Harmonic series）定义为

\[H(n)=\sum_{i=1}^n\dfrac 1i \]

\(H\) 发散，证明看百度 .

正片

首先我们把 \(\dfrac 1n\) 拆成积分形式

\[\dfrac 1n=\int_{n}^{n+1}\dfrac1{\lfloor x\rfloor}\mathrm dx \]

于是

\[\begin{aligned}H(n)&=\sum_{i=1}^n\dfrac1i\\&=\sum_{i=1}^n\int_{i}^{i+1}\dfrac1{\lfloor x\rfloor}\mathrm dx\end{aligned} \]

上下界是 \(i,i+1\)，显然可以合并

\[H(n)=\int_{1}^{n+1}\dfrac1{\lfloor x\rfloor}\mathrm dx \]

拆一下

\[\begin{aligned}H(n)&=\int_{1}^{n+1}\left(\dfrac1x+\dfrac1{\lfloor x\rfloor}-\dfrac1x\right)\mathrm dx\\&=\int_{1}^{n+1}\dfrac1x\mathrm dx+\int_{1}^{n+1}\left(\dfrac1{\lfloor x\rfloor}-\dfrac1x\right)\mathrm dx\end{aligned} \]

左边是众所周知的积分，右边是一个魔法 .

右边有一个神秘结论（收敛）：

\[\gamma = \lim_{n\to \infty}\int_{1}^{n}\left(\dfrac1{\lfloor x\rfloor}-\dfrac1x\right)\mathrm dx= 0.577\dots \]

于是，

\[\begin{aligned}H(n) &\approx \ln(n+1) + \gamma\\&=O(\log n)\end{aligned} \]

Q.E.D.