枚举子集为什么是 O(3^n) 的

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• $2021/2/9$ 代数推导
• $2021/2/10$ 组合意义，构建 TOC

目录

• 枚举子集
• 复杂度证明
  • 代数推导
  • 组合意义
• Summary

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枚举子集

枚举子集为什么是 $O(3^n)$ 的 .

考虑 一种常见的枚举子集方式：

for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
	// s 是 u 的一个非空子集 
}

显然单次枚举 $S$ 的一个子集是 $O(2^{|S|})$ 的 .

复杂度证明

组合意义天地灭，代数推导保平安。

代数推导

为什么枚举 $S$ 的所有子集的子集的时间复杂度是 $O(3^n)$ 的 .

显然枚举大小为 $n$ 的集合 $S$ 的复杂度是

$$O\left(\sum_{T\subseteq S}2^{|T|}\right)$$

不难发现，$S$ 中大小为 $l$ 的子集个数是 $\dbinom nl$，这是简单的组合数学知识 .

转而枚举 $l$，于是原式就化为

$$O\left(\sum_{i=1}^n\dbinom ni 2^i\right)$$

然后里面这个东西可以由众所周知的谔项式定理化简

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\dbinom ni 2^i&=\sum_{i=1}^n\dbinom ni 2^i1^{n-i}\\&=(1+2)^n-1\\&=O(3^n)\end{aligned}$$

于是，枚举 $S$ 的所有子集的子集的时间复杂度是 $O(3^n)$ 的 .

证毕 .

组合意义

OI-Wiki 那个奇妙的组合意义解法没看懂 .

Alpha 神也说了这个做法：

大概就是考虑每个元素然后计数有多少个集合包含它，吧 .

《这显然是个双射》

Summary

一个集合 $S$ 所有子集的子集数之和为 $3^n$ .

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感谢 Alpha1022 神仙的指导 orz