姨 社论

https://www.cnblogs.com/SoyTony/p/15869968.html

题面

在 $n\times n$ 每个方格上随机地填入 $1$ 到 $m$ 之间的正整数（每个方格填的数互不相同），然后随机地选出 $k$ 个数字，把它们出现在棋盘上的方格涂黑 .

设有 $R$ 行被整行涂黑，$C$ 列被整列涂黑，则得到 $2^{R+C}$ 分 .

求期望得分 .

题解

枚举 $R,C$ 钦定后算贡献，然后加起来就完了 .

显然 $R$ 行，$C$ 列总共有 $t = nR+nC-RC$ 个格子（注意此时 $t$ 其实是关于 $R,C$ 的函数，而不是独立的变量） .

考虑 $2^{R+C}$ 的组合意义，即子集数量 .

考虑到每个状态的超集贡献特别好算，于是把每个状态的超集贡献加起来就顺便把 $2^{R+C}$ 干掉力 .

也就是目前的柿子为

$$\sum_R\sum_C \dbinom nR\dbinom nCf(R,C)$$

那俩组合数是 $R,C$ 所对应的状态数，因为答案相同于是可以直接大力乘上，$f$ 是概率 .

显然 $f$ 是古典概型，于是可以直接除：

$$f(R,C) = \dfrac{\dbinom{m-t}{k-t}}{\dbinom mk}$$

于是答案就是

$$\sum_R\sum_C \dfrac{\dbinom nR\dbinom nC\dbinom{m-t}{k-t}}{\dbinom mk}$$

这个似乎大力算就好了吧 .

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SoyTony 解法：

根据众所周知的吸收恒等式

$$\boxed{\dbinom nm = \dfrac nm\dbinom{n-1}{m-1}}$$

于是 $f$ 可以递推

$$\dfrac{\dbinom{m-t}{k-t}}{\dbinom mk} = \dfrac{\dbinom{m-t+1}{k-t+1}}{\dbinom mk}\cdot\dfrac{m-t+1}{k-t+1}$$

然后剩下的组合数都是形如 $\dbinom n{啥啥啥}$ 的，于是也可以递推 .

递推是线性的，但是枚举 $R,C$ 是 $O(n^2)$ 的，感觉没啥区别 .

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时间复杂度 $O(n^2)$ .