丽泽普及2022交流赛day14

目录

• A
  • 题面
  • 题解
• B
  • 题面
  • 题解
• C
  • 题面
  • 题解
• D
  • 题面
  • 题解

A

题面

一个 $1\dots n$ 的排列 $p$ 和一个 $1\dots n-1$ 的排列 $q$ 满足

对排列 $I=1,2,\dots,n$ 进行 $n-1$ 次交换：

• 交换 $I[q[i]]$ 与 $I[q[i]+1]$ .

做完操作后满足 $I=p$ .

给定 $p$，计数 $q$，答案对 $10^9+7$ 取模 .

题解

一个 $(q,q+1)$ 交换过后显然左右就不可能再交流了 .

于是每个区间的答案可以拆成俩区间，考虑区间 dp .

丢一下柿子，需要组合数学知识：

$$dp_{l,r} = \sum_k \dbinom{r-l-1}{k-l}\cdot dp_{l,k}\cdot dp_{k+1,r}$$

B

题面

在 $n\times n$ 每个方格上随机地填入 $1$ 到 $m$ 之间的正整数（每个方格填的数互不相同），然后随机地选出 $k$ 个数字，把它们出现在棋盘上的方格涂黑 .

设有 $R$ 行被整行涂黑，$C$ 列被整列涂黑，则得到 $2^{R+C}$ 分 .

求期望得分 .

题解

枚举 $R,C$ 算概率 .

显然涂黑格子数为 $x = Rn+Cn-RC$ .

算一个局面的超集概率是容易的 .

考虑 $2^{R+C}$ 的组合意义，于是把所有概率加起来就凑出这个贡献了 .

大力算，概率是古典概型，俩组合数相除即可 .

upd. 社论

C

题面

原题

题解

中序遍历，最长不下降子序列 .

D

题面

一个序列 $a$ .

一个区间 $[l,r]$ 是好的，当且仅当存在 $k\in[l,r]$，使得对于任意 $i\in[l,r]$，有 $a_k \mid a_i$ .

求序列最长好子串 .

题解

这个条件等价于区间 $\gcd$ 在区间中存在 .

---

俩 $\log$ 解法比较好想，枚举左端点二分右端点即可 . 但这玩意涉及一个世界难题——判断数是否在区间中 .

于是考虑枚举 $a_k$，左右分别二分出最长子串，就是 $1$ 个 $\log$ 了 .

upd. 题解好像错了，st 表区间 $\gcd$ 询问复杂度是带 $\log$ 的，所以实际复杂度可能是小常数俩 $\log$ .

Keven_He 你个暴力优化艹过去的不要评论了！！/fn

upd. 反转了，用三区间合并（Sqrt Tree）似乎可以靠谱一 $\log$ .

upd. 可以记区间 $\min$ 和区间 $\gcd$ 然后随便二分做 .

st 表区间 $\gcd$ 预处理复杂度是一个 $\log$ 的证明可以看 OI-wiki .