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欧拉公式的一个简洁证明

平面图大坑啊，我不打算填了 qwq

目录

基本内容

如果知道了就可以直接跳过了 .

基本定义

平面图 定义

若图 \(G\) 能被画在平面上且不同的边仅在端点处相交，则称图 \(G\) 为平面图 . 画出的没有边相交的图称为 \(G\) 的平面表示或平面嵌入 .

面 定义

一个图的平面嵌入会将整个平面划分成若干个互不连通的区域，每个区域称为一个面 . 无界的区域称作外部面，有界的区域称作内部面 . 包围某个面的所有边构成了该面的边

对偶图 定义

设 \(G\) 为平面图的一个平面嵌入，定义它的对偶图 \(G^∗\) 为：

  1. 在 \(G\) 中的每一个面取一个点，作为 \(G^∗\) 的顶点；
  2. 对于 \(G\) 中的每一条边 \(e\)，都对应一条 \(G^∗\) 中的边 \(e^∗\) 连接与 \(e\) 相邻的两个面中的顶点，且 \(e^*\) 在平面中穿过 \(e\) .

欧拉公式

首先要明确我们到底要证什么吧，欧拉公式有好多啊 qwq .

平面图欧拉公式

对于一个连通的平面嵌入 \(G\)，它的点数 \(V\)，边数 \(E\)，面数 \(F\) 满足关系式

\[V-E+F = 2 \]

推论：

对于一个有 \(k\) 个连通块的平面嵌入 \(G\)，它的点数 \(V\)，边数 \(E\)，面数 \(F\) 满足关系式

\[V-E+F = C+1 \]

推论的证明：

对 \(G\) 的每个连通块 \(G_{1\cdots k}\) 用 Euler's Formula，得

\[V_i-E_i+F_i=2\quad 1\le i\le k \]

相加，得

\[\sum V_i - \sum E_i + \sum F_i = 2k \]

而显然 \(\displaystyle \sum V_i = V,\, \displaystyle \sum E_i = E,\, \displaystyle \sum F_i = F+(k-1)\)（\(F\) 的式子因为外部面多计算了 \(k-1\) 次） .

从而 \(V-E+F+(k-1) = 2k\)，即 \(V-E+F = k+1\) . 证毕 .

光速证明欧拉公式

正片

考察图 \(G\) 的一棵生成树 \(\mathcal T\) 以及其对偶图 \(G^{*}\) .

显然 \(G\) 的非生成树边对应 \(G^{*}\) 中也形成一棵生成树 \(\mathcal T^{*}\) .

众所周知，树的边数等于点数减一 .

设生成树边数为 \(e\)，于是

  • \(V\)，即 \(G\) 的顶点数，则 \(V=e+1\) .
  • \(F\)，即 \(G^{*}\) 的顶点数，则 \(F=e+1\) .
  • \(E\)，即 \(\mathcal T,\mathcal T^{*}\) 的边数和，则 \(E=2e\) .

从而

\[\begin{aligned}V-E+F&=e+1-2e+e+1\\&=2\end{aligned} \]

证毕

扩展阅读

Reference

posted @ 2022-01-25 18:47  Jijidawang  阅读(418)  评论(2)  编辑  收藏  举报
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