DZY Loves Math II

简要题面

对于正整数 $S, n$，求满足如下条件的素数数列 $(p_1,p_2,\cdots,p_k)$（$k$ 为任意正整数） 的个数：

• $p_1\le p_2\le\cdots\le p_k$
• $p_1 + p_2 + \cdots + p_k = n$
• $\operatorname{lcm}(p_1, p_2,\cdots, p_k) = S$

现在有一个固定 $S$ 和多组询问 $n$，求答案对 $10^9+7$ 取模后的结果

题解

显然第三条就是 $p_1p_2\cdots p_k$ 去重后乘积 $= S$

所以 $S$ 如果有平方因子，那么所有询问都输出 -1 .

我们考虑把相同的 $p_i$ 合并，则条件变成

$$\begin{aligned}\sum p_ic_i&=n&(c_i\ge 1)\\\prod p_i &= S\end{aligned}$$

$c_i\ge 1$ 只需要用 $n$ 减即可变成 $c_i\ge 0$ .

我们发现 $n$ 挺大，$S$ 挺小， $p_i$ 又还是 $S$ 的约数，于是考虑把 $c_i$ 对 $\dfrac S{p_i}$ 取模

如果一个 $c_i$ 到达了 $\dfrac S{p_i}$，那么就有 $\sum$ 里面那玩意 $=S$

于是乎令 $c_i = a_iS+b_i$（$b_i< S$）则可以拆成俩半

• $a_iS$：我们称为整块
• $b_i$：我们称为散块

整块有个 $S$，可以提出来然后隔板法

散块分两类贡献

1. 散块自身：因为散块非常小，跑多重背包即可
2. 散块和散块合成整块：这个是要斥掉的，考虑对于 $dp_m$，那么减去有整块的情况 $dp_{m-S}$，完美解决 .

终

没了 .

reference: https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/p/11131047.html