题解 洛谷 P2388 阶乘之乘

目录

• 简要题意
• 题解
  • 主要思路
  • 一个 \(\omega(n)\) 的算法
  • 一个 \(O(\log n)\) 的算法
  • 一个算法
• 代码
  • 算法 \(1\)（\(\omega(n)\)）
  • 算法 \(2\)
  • 算法 \(3\)

简要题意

求 \(1!\times 2!\times \cdots\times n!\) 的末尾有几个 \(0\) .
\(n\le 10^8\)

题解

主要思路

首先，一个数末尾有几个零等价于它有多少个因子 \(10\) .

即这个数有多少个因子 \(2\) 和 \(5\)，又因为因子 \(5\) 的数量少于因子 \(2\) 的数量，所以只需统计因子 \(5\) 的数量 .

注意，\(25\) 有两个 \(5\) 因子（笑）

一个 \(\omega(n)\) 的算法

平凡的去除因子 \(5\) 即可 .

一个 \(O(\log n)\) 的算法

这里讲的通俗一些 .

枚举 \(5\) 的方幂 \(5^k\) .

对于每个 \(i\) 计算 \(i!\) 的贡献，显然是 \(\left\lfloor\dfrac{i}{5^k}\right\rfloor\) .

那个下取整是 \(1,2,3,\cdots\) 重复 \(5^k\) 次的结果，用个等差数列求和就可解决！！

一个算法

其实这个题在 OEIS 上式能搜到的：http://oeis.org/A173345

但是我没找到 \(O(1)\) 公式 /xk

代码

算法 \(1\)（\(\omega(n)\)）

// 初始 t=0, s=0, ans=0
for (int i=1;i<=n;i++)
{
    t=i;
    while (!(t%5)){++s; t/=5;}
    ans+=s;
}

算法 \(2\)

// 初始 now=5, ans=0
while (now<=n)
{
	ll t=n;
	while (t%now!=now-1){ans+=t/now; --t;}
	ans+=now*(t/now)*(t/now+1)/2;
	now*=5;
}

算法 \(3\)