题解 洛谷 P2388 阶乘之乘

目录

• 简要题意
• 题解
  • 主要思路
  • 一个 $\omega(n)$ 的算法
  • 一个 $O(\log n)$ 的算法
  • 一个算法
• 代码
  • 算法 $1$（$\omega(n)$）
  • 算法 $2$
  • 算法 $3$

简要题意

求 $1!\times 2!\times \cdots\times n!$ 的末尾有几个 $0$ .
$n\le 10^8$

题解

主要思路

首先，一个数末尾有几个零等价于它有多少个因子 $10$ .

即这个数有多少个因子 $2$ 和 $5$，又因为因子 $5$ 的数量少于因子 $2$ 的数量，所以只需统计因子 $5$ 的数量 .

注意，$25$ 有两个 $5$ 因子（笑）

一个 $\omega(n)$ 的算法

平凡的去除因子 $5$ 即可 .

一个 $O(\log n)$ 的算法

这里讲的通俗一些 .

枚举 $5$ 的方幂 $5^k$ .

对于每个 $i$ 计算 $i!$ 的贡献，显然是 $\left\lfloor\dfrac{i}{5^k}\right\rfloor$ .

那个下取整是 $1,2,3,\cdots$ 重复 $5^k$ 次的结果，用个等差数列求和就可解决！！

一个算法

其实这个题在 OEIS 上式能搜到的：http://oeis.org/A173345

但是我没找到 $O(1)$ 公式 /xk

代码

算法 $1$（$\omega(n)$）

// 初始 t=0, s=0, ans=0
for (int i=1;i<=n;i++)
{
    t=i;
    while (!(t%5)){++s; t/=5;}
    ans+=s;
}

算法 $2$

// 初始 now=5, ans=0
while (now<=n)
{
	ll t=n;
	while (t%now!=now-1){ans+=t/now; --t;}
	ans+=now*(t/now)*(t/now+1)/2;
	now*=5;
}

算法 $3$