qbxt数学五一Day4

目录

• 1. 随机试验
• 2. 概率
  • 1. 平凡
  • 2. 条件概率
• 3. 期望
• 习题
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

1. 随机试验

定义：

1. 不能预先确知结果
2. 试验之前可以预测所有可能结果或范围
3. 可以在相同条件下重复实验

样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合 .

分类：离散样本空间、无穷样本空间

样本空间的任意一个子集称之为 事件 .

事件发生：在一次试验中，事件的一个样本点发生

• 必然事件：样本空间
• 不可能事件：空集

事件 $A,B$ 的关系与运算：

• 包含：和集合里的一样
• 相等：和集合里的一样
• 互斥：$A\cap B=\varnothing$
• 补：和集合里的补集一样，记作 $\overline A$
• 和：和集合里的并集一样，记作 $A+B$
• 差：和集合里的差集一样，记作 $A-B$
• 积：和集合里的交集一样，记作 $AB$

运算律：

• 交换律：$A+B=B+A$，$AB=BA$ .
• 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$，$(AB)C=A(BC)$
• 分配律：$(A+B)C=AC+BC$，$(AB)+C=(A+C)(B+C)$ .
• 对偶律：$\overline{A+B}=\overline A\cdot\overline B$，$\overline{AB}=\overline A+\overline B$ .

2. 概率

1. 平凡

定义：为样本空间 $S$ 的每一个事件定义一个实数，这个实数称为 概率 . 事件 $A$ 的概率记作 $P(A)$ .

有：

1. $0\le P(A)\le 1$ .
2. $P(S)=1$ .
3. 若 $AB=\varnothing$，则 $P(A+B)=P(A)+P(B)$ .

性质：

1. $P(\varnothing)=0$ .
2. 若 $A_1A_2\cdots A_n=\varnothing$，则 $P(\sum_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)$ .
3. 若 $A\subset B$，则 $P(B-A)=P(B)-P(A)$ .
4. 一般的，$P(B-A)=P(B)-P(AB)$ .
5. $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ .

2. 条件概率

定义已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率为 $P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$

移项即得乘法法则：$P(AB)=P(A|B)P(B)$ .

性质（其实和普通的差不多）：

• $P(\varnothing | A)=0$
• 若 $A_1A_2\cdots A_n=\varnothing$，则 $P(\sum_{i=1}^n A_i | B)=\sum_{i=1}^n P(A_i | B)$ .
• $P(\overline B | A)=1-P(B|A)$
• $P(A+B | C)=P(A | C)+P(B | C)-P(AB | C)$ .

贝叶斯公式：

若 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间的一个划分，则有

$$P(B_i|A)=\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=0}^n P(A|B_j)P(B_j)}$$

Proof：

$$\begin{aligned}\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=0}^n P(A|B_j)P(B_j)}&=\dfrac{P(AB_i)}{\sum\limits_{i=0}^n P(AB_j)}\\&=\dfrac{P(AB_i)}{P(A)P\left(\sum\limits_{i=0}^n B_j\right)}\\&=\dfrac{P(AB_i)}{P(A)}=P(B_i|A)\end{aligned}$$

$$\tag*{□}$$

如果两个事件满足 $P(AB)=P(A)P(B)$（即 $P(B|A)=P(B)$），那么称他们 独立 .

3. 期望

期望就是平均事件发生的情况，定义：

$$E(f(X))=\sum P(X=x)f(X)$$

例如，投掷一个骰子期望投到 $3.5$ .

期望有如下性质：

1. [重要] $E(c_1X_1+c_2X_2+\cdots+c_nX_n)=c_1E(X_1)+c_2E(x_2)+\cdots+c_nE(x_n)$（线性性）
2. 如果 $X_1,X_2$ 独立，则 $E(X_1X_2)=E(X_1)E(X_2)$

习题

1

$n\times m$ 的矩形

每次随机刷掉一个矩形

问 $k$ 次之后期望刷掉了多少个格子

$n,m\le 1000,k\le 100$

期望染的格子数 = 每个格子染的状态的期望之和 = 每个格子被染色的期望 .

2

检验矩阵乘法式 $AB=C$ 是否成立

$A,B,C$ 均为 $n\times n$ 矩阵，$n\le 1000$ .

随机弄几个 $n\times 1$ 矩阵 $D$，然后检验是否有

$$A(BD)=CD$$

3

给定平面上 $n$ 个点

找到一个最小的圆覆盖住他们

暴力是 $O(n^3)$ 的，随机打乱点的顺序后是期望 $O(n)$ 的 [表情]（分析每个 if 的进入条件）

钟神的伪代码：

point p[2333];

circle o;
random_shuffle(p+1,p+n+1);
for (int i=1;i<=n;i++)
	if (p[i] not in o)//3/i
	{
		o = circle(p[i],0);//p[i]为圆心 0为半径 
		for (int j=1;j<i;j++)
			if (p[j] not in o)
			{
				o = circle(p[i],p[j]);//p[i] p[j]距离为直径 
				for (int k=1;k<j;k++)
					if (p[k] not in o)
						o=circle(p[i],p[j],p[k]);
			}
	}

4

$n$ 次操作，第 $i$ 次操作成功的概率为 $p_i$ .

成功记为 $1$ 否则记为 $0$ .

连续 $x$ 个 $1$ 会贡献 $x^3$ 的分数，求期望分数