qbxt五一数学Day1

目录

• I. 基础知识
  • 1. 带余除法（小学）
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 2. 最大公约数（gcd）/ 最小公倍数（lcm）
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 3. 高精度
• II. 矩阵及其应用
  • 1. 定义
  • 2. 运算
  • 3. 递推
  • 4. 图论

I. 基础知识

1. 带余除法（小学）

1. 定义

对于整数 $a,b$，若有 $q,r$ 满足：

$$a=bq+r$$

其中 $0\le r<b$，那么 $r$ 称作 $a$ 模 $b$ 的 余数，记作 $a\bmod b$ .

顺便一提，$a=\left\lfloor\dfrac ab\right\rfloor$ .

2. 性质

$$(a+b)\bmod p=((a\bmod p)+(b\bmod p))\bmod p$$

$$(a-b)\bmod p=((a\bmod p)-(b\bmod p))\bmod p$$

$$ab\bmod p=((a\bmod p)(b\bmod p))\bmod p$$

Proof:

设 $a=a'p+r_0,b=b'p+r_1$，则有：

$$(a+b)\bmod p=(r_0+r_1)\bmod p=((a\bmod p)+(b\bmod p))\bmod p$$

$$(a-b)\bmod p=(r_0-r_1)\bmod p=((a\bmod p)-(b\bmod p))\bmod p$$

$$ab\bmod p=(r_0\cdot r_1)\bmod p=((a\bmod p)(b\bmod p))\bmod p\tag*{□}$$

2. 最大公约数（gcd）/ 最小公倍数（lcm）

1. 定义

最大公约数：$\max G\;s.t.\;p\bmod G=q\bmod G=0$，则 $G$ 为 $p,q$ 最大公约数，记做 $\gcd(p,q)=(p,q)=G$

最小公倍数：$\min L\;s.t.\;L\bmod p=L\bmod q=0$，则 $L$ 为 $p,q$ 最小公倍数，记做 $\operatorname{lcm}(p,q)=[p,q]=L$

2. 性质

$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

3. 高精度

II. 矩阵及其应用

1. 定义

$n$ 行 $m$ 列的数表就是 矩阵（Martix），矩阵里的数叫做矩阵的 元素（Element），例如下面就是三个矩阵：

$$\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}\quad\begin{Bmatrix}9&3\sqrt 2\\e&0\\-\dfrac 13&\pi^2\end{Bmatrix}\quad,\left(\begin{matrix}3.14&6.28&9.42\\\pi&2\pi&3\pi\end{matrix}\right)$$

矩阵一般用大写字母 $A,B,C,\cdots$ 表示

特殊的矩阵有:

• 零矩阵 $O$，所有元素都是 $0$ 的矩阵 .
• 单位矩阵 $I$（或写作 $E$），对角线是 $1$，其余为 $0$ 的矩阵：$\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{bmatrix}$ .

2. 运算

相等：所有元素相等

相加减：所有元素相加减

数乘：用数乘每个元素

相乘

$$A_{n\times m}B_{m\times k}=C_{n\times k}$$

$$C_{i,j}=\sum_{l=1}^m A_{il}B_{lj}$$

3. 递推

Fibonacci 数列：$[F_n,F_{n-1}]\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}=[F_{n+1},F_n]$

更改系数类似

$F_n=F_{n-1}+F_{n-3}$ 形：开 $F_n,F_{n-1},F_{n-2}$

有常数项：例子：$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+1$，递推：$[F_n,F_{n-1},1]\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&0&1\end{bmatrix}=[F_{n+1},F_n,1]$

求和：

1. 推式子再做矩阵快速幂
2. 通用办法：例子：求 Fibonacci 数列和，递推：$[F_n,F_{n-1},S_n]\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{bmatrix}=[F_{n+1},F_n,S_{n+1}]$，$S_n$ 是和 .

4. 图论

https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/14407416.html

Problem 杰杰的女性朋友

对于每个点 $u$ 给定属性 $in_{u,1},in_{u,2},\cdots,in_{u,k}$，$out_{u,1},out_{u,2},\cdots,out_{u,k}$

对于任意 $(u,v)$，$u$ 到 $v$ 有 $\sum\limits_{i=1}^k ou_{u,i}in_{v,i}$ 条道路

问 $u$ 到 $v$ 不超过 $d$ 条道路的方案数 .

$$(OI)^t=OIOIOIOI\cdots OI=O(IOIOIOIO\cdots IO)I=O(IO)^{t-1}I$$