关于同余最短路

目录

• 1. 跳楼机
• 2. 墨墨的等式
• 3. 很多序列
• 4. 牛场围栏
• 5. 货币系统
• 6. 巡回

同余最短路可以解决形如「给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数能拼凑出多少的其他整数（可以重复取整数）」「给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数」的问题 .

1. 跳楼机

给定 $x,y,z,h$，问有多少个 $k\in[1,h]$ 使得 $k=px+qy+rz$，其中 $p,q,r$ 是变量 .

不妨设 $x<y<z$ .

令 $d_i$ 表示最小的满足条件且 $k\equiv i\pmod x$ 的 $k$ .

考虑将 $q,r$ 加一（将 $p$ 加一对 $d_i$ 没有贡献），可以发现：

$$d_{(i+y)\bmod x}=d_i+y$$

$$d_{(i+z)\bmod x}=d_i+z$$

发现这与最短路中的 $dis_v=dis_u+val_{u,v}$ 类似，所以对于每个 $i\in[0,x)$ 建一个点，将 $i\to (i+y)\bmod x$ 连一条边权为 $y$ 的边，将 $i\to (i+z)\bmod x$ 连一条边权为 $z$ 的边，然后跑一边最短路即可求出所有 $d_i$ .

不难发现，对于 $d_i\le h$，每个 $d_i$ 其答案的贡献为 $\left\lfloor\dfrac{h-d_i}x\right\rfloor+1$（$+1$ 是因为自己也算一个），从而，答案为：

$$\sum_{i=0}^{x-1}\left(\left(\left\lfloor\dfrac{h-d_i}x\right\rfloor+1\right)[d_i\le h]\right)$$

时间复杂度 $O(x)$（当然这里是 $x<y<z$ 前提下的，一般的，时间复杂度是 $O(\min\{x,y,z\})$）

Code:

using namespace std;
const int N=1e5+500;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
ll x,y,z,h,dis[N];
bool vis[N];
typedef vector<pair<ll,ll> > graph[N];
graph g;
inline void addedge(ll u,ll v,ll w){g[u].push_back(make_pair(v,w));}
struct node
{
	int idx; ll dis;
	node(int _=0,ll __=0){idx=_; dis=__;}
	bool operator <(const node& u)const{return dis>u.dis;}
};
void dijkstra(int s) // spfa 爬，dijkstra 天下第一
{
	memset(dis,0x3f,sizeof dis); memset(vis,false,sizeof vis);
	priority_queue<node> q; q.push(node(s,0)); dis[s]=0;
	while (!q.empty())
	{
		node now=q.top(); q.pop(); int u=now.idx,S=g[u].size();
		if (vis[u]) continue;
		vis[u]=true;
		for (int i=0;i<S;i++)
		{
			int v=g[u][i].first,w=g[u][i].second;
			if (dis[u]+w<dis[v]){dis[v]=dis[u]+w; if (!vis[v]) q.push(node(v,dis[v]));}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&h,&x,&y,&z);
	if ((x==1)||(y==1)||(z==1)){printf("%lld",h); return 0;} // 假设 x<y<z，若 x=1，则令 q=r=0，从而 k 可以取到 [1,h] 中所有数
	if (x>y) swap(x,y); // 这六句仅仅是为了让 x<y<z
	if (y>z) swap(y,z);
	if (x>z) swap(x,z);
	if (x>y) swap(x,y);
	if (y>z) swap(y,z);
	if (x>z) swap(x,z);
	for (int i=0;i<x;i++) addedge(i,(i+y)%x,y),addedge(i,(i+z)%x,z);
	dijkstra(0); ll ans=0;
	for (int i=0;i<x;i++)
		if (h>=dis[i]) ans+=(h-dis[i]-1)/x+1; // 注意这里初始楼层是 1 所以每个 d[i] 都要 +1
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

仅在此题给出代码 .

2. 墨墨的等式

给定 $a_{1\cdots n},l,r$，问有多少个 $k\in[l,r]$ 使得 $k=\sum\limits_{i=1}^na_it_i$，其中 $t_{1\cdots n}$ 是变量 .

上一题的拓展，上一题是 $l=1,n=3$ 的特殊情况，这个一般的情况类似 .

时间复杂度 $O(n\min\limits_i\{a_i\})$

3. 很多序列

给定 $n$ 个递增正整数 $x_{1\cdots n}$，求不能由这些数字线性组合表示出的最大正整数 .
$1<n<6$，$x_1\le 10^{6-n}$，$x_2\ge 10^{11+n}$，$x_n\le 10^{12+n}$，$\gcd(x_1,x_2)=1$ .

如果 $n=2$，那么就是小凯的疑惑，答案就是 $x_1x_2-x_1-x_2$ .

类似的，把 $i$ 向 $(i+x_i)\bmod x_1$ 连边权为 $x_i$ 的边，跑一边最短路，假设最短路是 $d_{1\cdots n}$ 答案就是

$$\max_{i}d_i-x_1$$

4. 牛场围栏

给定序列 $l_{1\cdots n}$，每个 $l_i$ 可以减少至多 $m$，问无法表示为 $l_{1\cdots n}$ 的线性组合的最大数 .

和上一题类似 .

5. 货币系统

https://www.luogu.com.cn/problem/P5020

问题 $3$ 的拓展，两种货币系统等价，当且仅当两种货币系统的 $d$ 数组完全相同，开一个新数组记录转移用到的币值，并且要求币值尽量小 .

最后统计一下币值数目即可 .

6. 巡回

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，问有没有 $1$ 到 $n$ 长度为 $t$ 的路径 .
$1\le n,m\le 50$，$1\le t\le 10^{18}$，$1\le 边权\le 10^4$

任选一条边 $(u,n,w)$，注意到，如果有一条长度为 $d$ 的路径，也必然会有长度为 $d+2w$ 的路径，故考虑在 $\bmod 2w$ 意义下做同余最短路 .

令 $d_{u,k}$ 表示满足存在一条从 $1$ 到 $u$ 长度为 $i$ 的路径且 $k\equiv i\pmod{2w}$ 的最小的 $i$，转移用最短路算法实现即可 .

答案就是 $[d_{n,T\bmod 2w}\le T]$ .

注意若不存在从 $1$ 到 $n$ 的路径，那么也是不存在这样的路径的 .