题解【AtCoder - CODE FESTIVAL 2017 qual B - D - 101 to 010】

题目：https://atcoder.jp/contests/code-festival-2017-qualb/tasks/code_festival_2017_qualb_d

题意：给一个 01 串，每次可以把 101 换成 010，问最多能换多少次 .

题解：

令 $dp_i$ 表示 $1\sim i$ 最多换多少次，记录一个 $l_i$ 表示 $i$ 左边最接近的 $0$，$r_i$ 表示 $i$ 右边最接近的 $0$，从而：

$$dp_i=\max\begin{cases}dp_{i-1}\\dp_{l_{i-3}+1}+i-l_{i-3}-3&i\ge 3 且 s_{i-3},s_{i-2},s_{i-1} 构成一个\tt 101&\qquad (1)\\dp_{l_{i-3}+2}+i-l_{i-3}-4&(1) 且 l_{i-3}\neq i-4\end{cases}$$

$$dp_{l_{i-3}}=\max\{dp_{i}+l_{i-3}-i-2\quad i+3\le n 且s_{i},s_{i+1},s_{i+2}构成一个\tt 101 \qquad\rm (2)\qquad\,\}$$

$$dp_{l_{i-3}-1}=\max\{dp_{i}+l_{i-3}-i-3\quad(2) 且 l_{i-3}\neq i+3\}$$

对于每一行的解释：

• 第一行：显然
• 第二行：若目前有 $\tt 101$，则换
• 第三行：若换完还有 $\tt101$，再换
• 第四、五行：同第二、三行 .

Code：

using namespace std;
const int N=500500;
int n,dp[N],l[N],r[N];
string s;
int main()
{
	scanf("%d",&n); cin>>s;
	l[0]=(s[0]=='0'?0:-1); r[n]=n;
	for (int i=1;i<n;i++)
		if (s[i]=='1') l[i]=l[i-1];
		else l[i]=i;
	for (int i=n-1;i>=0;i--)
		if (s[i]=='1') r[i]=r[i+1];
		else r[i]=i;
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		if (i) dp[i]=max(dp[i],dp[i-1]); // because line 47 .
		if ((i>=3)&&(s[i-1]=='1')&&(s[i-2]=='0')&&(s[i-3]=='1')) // pre
		{
			int j=l[i-3];
			dp[i]=max(dp[i],dp[j+1]+i-j-3);
			if (j!=i-4) dp[i]=max(dp[i],dp[j+2]+i-j-4); // 101 * 2
		}
		if ((i+3<=n)&&(s[i]=='1')&&(s[i+1]=='0')&&(s[i+2]=='1')) // suc ( nxt )
		{
			int j=r[i+2];
			dp[j]=max(dp[j],dp[i]+j-i-2);
			if (j!=i+3) dp[j-1]=max(dp[j-1],dp[i]+j-i-3); // 101 * 2;
		}
	} printf("%d",dp[n]);
	return 0;
}