一些简单图论问题

目录

• 0. 前置
• 1. 一类基于矩阵乘法的问题
  • 1. Problem 1
  • 2. Problem 2
  • 类似题目
• 2. 一类二分图匹配问题
  • 1. Problem 1
  • 2. Problem 2
  • 3. Problem 3
• 杂题

0. 前置

1. 图论基础内容
2. 最短路
3. 最小生成树，次小生成树
4. 邻接矩阵存图，边表存图
5. 差分约束
6. 矩阵乘法，矩阵快速幂
7. 二分图匹配
8. 最小割定理
9. 最大独立子集和最大团的转化
10. 有向图强连通分量
11. 边双连通分量
12. 点双连通分量
13. 缩点
14. 2-SAT

1. 一类基于矩阵乘法的问题

我们记 $\mathbf{A}_{x,y}$ 表示矩阵 $\mathbf A$ 的第 $x$ 行第 $y$ 列的元素 .

先说一下此处邻接矩阵的定义（设邻接矩阵为 $\mathbf G$）：

• 无权图邻接矩阵：若 $i\to j$ 有边，则 $\mathbf G_{i,j}=1$，否则 $\mathbf G_{i,j}=0$ .
• 有权图邻接矩阵：若 $i\to j$ 有一条边权为 $w$ 的边，则 $\mathbf G_{i,j}=w$，否则 $\mathbf G_{i,j}=\infty$ .

1. Problem 1

一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无权图，求 $a$ 到 $b$ 经过 $t$ 条边的路径数量 .

先考虑一张图的邻接矩阵 $\mathbf G$，若 $t=1$，那么 $\mathbf G_{a,b}$ 即为答案 .

考虑 $\mathbf G^2$，根据矩阵乘法的定义：

$$\mathbf G^2_{a,b}=\sum_{i=1}^n\mathbf G_{a,i}\mathbf G_{i,b}$$

因为 $\mathbf G$ 的每个元素要么为 $0$，要么为 $1$，从而，当且仅当 $a\to i$，$i\to b$ 都有边时，$\mathbf G_{a,i}\mathbf G_{i,b}$ 才等于 $1$ .

不难发现，当 $t=2$ 时，答案恰好为 $\mathbf G^2_{a,b}$ .

我们再考虑 $\mathbf G^3$：

$$\begin{aligned}\mathbf G^3_{a,b}&=\sum_{i=1}^n\mathbf G_{a,i}\mathbf G^2_{i,b}\\&=\sum_{i=1}^n\mathbf G_{a,i}\left(\sum_{j=1}^n\mathbf G_{i,j}\mathbf G_{j,b}\right)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbf G_{a,i}\mathbf G_{i,j}\mathbf G_{j,b}\end{aligned}$$

类似的，当且仅当 $a\to i$，$i\to j$，$j\to b$ 都有边时，$\mathbf G_{a,i}\mathbf G_{i,j}\mathbf G_{j,b}$ 才等于 $1$ .

不难发现，当 $t=3$ 时，答案恰好为 $\mathbf G^3_{a,b}$ .

一般的，是否有答案为 $\mathbf G^k_{a,b}$？

答案是肯定的，分析类似 .

重边自环问题不大 .

2. Problem 2

一个 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求 $a$ 到 $b$ 经过 $t$ 条边的最短路 .

这个问题和 Problem 1 非常相似，先考虑一个 dp 方法 .

令 $dp_{i,j}$ 表示通过 $i$ 条边到达 $j$ 的方案数，则：

$$dp_{i,j}=\min_{i=1}^{k}(dp_{i-1,k}+\mathbf G_{k,j})$$

其中 $\mathbf G$ 是图的邻接矩阵 .

直接暴力 dp 肯定是得不到满分的，我们对 Problem 1 设计一个类似的 dp 算法（状态类似）：

$$Dp_{i,j}=\sum_{i=1}^kDp_{i-1,k}\mathbf G_{k,j}$$

发现它们两个非常的相似，所以考虑定义一种新的「矩阵乘法」运算，我们定义两个矩阵 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 之间的「新矩阵乘法」为：

$$(\mathbf A\circ \mathbf B)_{i,j}=\min_{k=1}^b(\mathbf A_{i,j}+\mathbf B_{k,j})$$

其中 $\mathbf A$ 是 $a\times b$ 的矩阵，$\mathbf B$ 是 $b\times c$ 的矩阵，$\mathbf A\circ \mathbf B$ 是 $a\times c$ 的矩阵 .

不难验证 $\circ$ 运算有结合律：

$$\begin{aligned}((\mathbf A\circ \mathbf B)\circ\mathbf C)_{i,j}&=\min_{l=1}^c\left(\min_{k=1}^b(\mathbf A_{i,k}+\mathbf B_{k,l})+\mathbf C_{l,j}\right)\\&=\min_{k=1}^b\min_{l=1}^c(\mathbf A_{i,k}+\mathbf B_{k,l}+\mathbf C_{l,j})\\&=\min_{k=1}^b\left(\mathbf A_{i,k}+\min_{l=1}^c(\mathbf B_{k,l}+\mathbf C_{l,j})\right)\\&=(\mathbf A\circ(\mathbf B\circ\mathbf C))_{i,j}\end{aligned}$$

上矩阵快速幂，时间复杂度 $O(n^3\log t)$ .

类似题目

• 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求边数恰好为 $k$ 的路径上最大边最小是多少 .
  定义：

$$\mathbf A\circ \mathbf B=\min_{i=1}^n\max{\mathbf A_{i,k}\mathbf B_{k,j}}$$

• 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求边数恰好为 $k$ 的路径上最大边最小是多少 .
  同理
• 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求边数不超过 $k$ 的路径上最大边最小是多少 .
  对每个点 $u$ 都连一条 $u\to u$ 边权为 $-\infty$ 即可 .
• 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求边数在 $[k_1,k_2]$ 的路径上最大边最小是多少 .
  设原矩阵为 $\mathbf G$，每个点 $u$ 都连一条 $u\to u$ 边权为 $-\infty$ 之后的矩阵是 $\mathbf G$ .
  观察矩阵乘法 $\circ$ 的定义，可以发现答案就是 $\mathbf G_0^{k_1}\mathbf G^{k_2-k_1}$ .

2. 一类二分图匹配问题

1. Problem 1

问能否通过交换方格图的某些行列，使得对角线上的数全部是 $1$ .

把每个格子和其对应对角线点连边跑二分图匹配即可 .

2. Problem 2

$n\times m$ 的方格图，若干地方有障碍，问最多能放多少个物体，使得这些物体彼此之间不能互相看见（物体有视力，物体的视线会被障碍挡住）

把不能看到的点连边，然后跑二分图匹配

3. Problem 3

$n$ 男 $n$ 女，给出哪些对可以跳舞，每次开始播放歌曲，某些对就会跳舞，跳舞之后，每个男如果存在一个没有跳舞的女且能够跳舞，他就会找该女更换舞伴
现在希望：至少有一对人跳舞 并且跳舞后没有人愿意改变舞伴
输出任意一种方案

当全部匹配或者一人匹配失败时答案就出来了 .

杂题

咕