清北学堂 2020 国庆J2考前综合强化 Day4

目录

• 1. 题目
  • T1 写字符串
    • 题目描述
    • Sol
  • T2 神奇的数
    • 题目描述
    • Sol
  • T3 珠子染色
    • 题目描述
    • Sol
  • T4 病毒扩散
    • 题目描述
    • Sol
• 算法 -- 图论

1. 题目

T1 写字符串

题目描述

题目描述

你有一个字符串 $S$ 和一个字符串 $T$。

你把 $S$ 中的字母按顺序一个一个写在黑板上，写完一遍后接着写第二遍、第三遍，以此类推 $\cdots$

当黑板上的字符串恰好是 $T$ 时，你会停下，否则你会一直写下去。但是你有一次反悔的机会，即可以在某一个时刻在黑板上修改一个字母。

比如 $S=\tt abc$：

• 若 $T=\tt abcab$，你会在写下第 $5$ 个字母后停笔，因为此时黑板上恰好是 $\tt abcab$ .
• 若 $T=\tt aa$，那你可以在写下第二个字母后（黑板上是 $\tt ab$）修改第二个字母，变成 $\tt a$，这样黑板上恰好是 $\tt aa$，可以停笔。
• 若 $T=\tt aab$，那你永远不会停笔，因为就算修改一个字母，黑板上也永远不可能只出现 $\tt aab$ 三个字母。

现在有 $q$ 组询问，请你按照如下要求输出每个询问的答案：

• 如果不需要修改字母就可以停笔，输出 0；
• 如果修改一个字母就可以停笔，输出需要修改的字母下标（从 $1$ 开始）；请注意，这里的下标是指 $T$ 字符串的下标
• 如果修改一个字母也无法停笔，输出 -1。

输入格式

输入第一行，一个整数 $q$，表示测试数据组数；

对于每组数据，输入一行包含两个字符串 $S$ 和 $T$。

输出格式

输出共 $q$ 行，第 $i$ 行的输出表示第 $i$ 组测试数据的结果。

样例输入

3
abc abcab
abc aa
abc aab

样例输出

0
2
-1

数据范围

• 对于 $30\%$ 的数据，$1≤|S|,|T|≤10$；
• 对于 $50\%$ 的数据，$q=1$;
• 对于 $100\%$ 的数据，$1≤|S|,|T|≤100$，$1≤q≤10$，字符串由小写字母组成 .

时间限制：$\rm 1s$
空间限制：$\rm 512MB$

Sol

对于 $S_{0\dots n-1}$，$T_{0\dots m}$

检查 $T_i$ 是否等于 $S_{i\bmod n}$

1. 相等：输出 0；
2. 存在一个 i 使得 $T_i\neq S_{i\bmod n}$：输出 $i$；
3. 超过一位不相等：输出 -1 .

时间复杂度 $O(|T|)$，足以通过本题。

T2 神奇的数

题目描述

题目描述

小鸿最近学会了因数分解和二进制。她发现有一类数很神奇，这个数可以表示成两个数 $a$ 和 $b$ 的乘积，并且 $a$ 和 $b$ 的二进制表示（无前导 $0$）中 $0$ 的个数相同，$1$ 的个数也相同。

例如：$30$ 可以表示成 $5\times 6$，且 $5$ 的二进制表示是 $101$，$6$ 的二进制表示是 $110$，都有一个 $0$ 和两个 $1$，所以 $30$ 是一个神奇的数。$a$ 和 $b$ 可以相等，即平方数一定是神奇的。

现在小鸿想知道第 $k$ 小的神奇的数是多少，请你帮帮她！

输入格式

输入第一行，一个整数 $q$，表示询问个数；
接下来 $q$ 行，每行一个整数 $k$，表示一个询问。

输出格式

输出共 $q$ 行，每行表示对应询问的答案。

样例数据 $1$

input1

5
1
2
3
4
5

output1

1
4
9
16
25

样例数据 $2$

input2

3
10
100
1000

output2

81
1750
26460

数据规模与约定

• 对于 $20\%$ 的数据，$1≤k≤10$；
• 对于 $40\%$ 的数据，$1≤k≤10^2$；
• 对于 $60\%$ 的数据，$1≤k≤10^3$；
• 对于 $80\%$ 的数据，$1≤k≤10^4$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$1≤k≤10^6$，$1≤q≤10$ .

时间限制：$\rm 1s$
空间限制：$\rm 512MB$

Sol

找出所有的二进制 $0$ 和 $1$ 个数相等的数乘一下预处理即可。

关于找二进制数中 $1$ 的个数，可以线性递推：
令 $cnt_i$ 为 $i$ 二进制中 $1$ 的个数，则

$$cnt_i=cnt_{i\text{ shr }1}+(i\text{ and }1)$$

其中 $\text{shr}$ 表示右移，在 C/C++ 中为 >>，在 pascal 中为 shr，参见 Wikipedia - Bitwise operation - Bit shift - Arithmetic shift；$\text{and}$ 表示按位与符号，在 C/C++ 中为 &，在 pascal 中为 and，参见 Wikipedia - Bitwise operation - AND .
即 $i$ 丢掉最后一位二进制中 $1$ 的个数与最后一位是否为 $1$。
经过简单的验证，可以发现 $k\le 10^6$ 时，$a,b\le 2^{13}$

枚举 $0$ 的个数与 $1$ 的个数再乘就可以了。
注意乘的时候要排序和去重，用 sort+unique 即可。

T3 珠子染色

题目描述

题目描述

小鸿把 $n$ 个珠子排成一排，想用 $m$ 种颜料给它们染色。

这些颜料不一定要都用上，但是她希望染色后的珠子满足：任意连续三个珠子的颜色互不相同。

因为珠子染色后还有可能首尾相连串成项链，所以小鸿还想知道在满足上述条件的方案中，第一个珠子的颜色和最后一个珠子的颜色不同的方案数。

由于答案可能很大，请输出答案对 $p$ 取模后的结果。

输入格式

输入仅一行，包含三个整数 $n,m,p$ .

输出格式

输出两个数，第一个数是首尾颜色不同的方案数，第二个数是首尾颜色无限制的方案数。

注意输出的是答案对 $p$ 取模后的结果。

样例数据 $1$

input

4 4 1000

output

24 48

样例解释

前三个珠子颜色互不相同，一共有 $4×3×2=24$ 种选法，第四个珠子的颜色不能和第二、第三颗相同，有 $2$ 种选法。这两种选法中，一种和第一颗珠子颜色相同，一种不同，所以第一个答案（首尾颜色不同的方案数）是 $24$，第二个答案（总方案数）是 $48$。

样例数据 $2$

input

20 20 1000000

output

342920 661120

数据规模与约定

请注意 $n,m$ 都大于等于 $3$ .

• 对于 $20\%$ 的数据，$3≤n,m≤5$;
• 对于 $40\%$ 的数据，$3≤n,m≤50$;
• 对于 $60\%$ 的数据，$3≤n,m≤10^2$;
• 对于 $80\%$ 的数据，$3≤n,m≤10^3$;
• 对于 $100\%$ 的数据，$3≤n,m≤10^4,1≤p≤10^9+7$ .

时间限制：$\rm 1s$
空间限制：$\rm 512MB$

Sol

爆搜：20pts

记录颜色的 dp：

令 $dp_{i,j,k}$ 为现在染第 $i$ 个珠子，上个颜色是 $j$，当前颜色是 $k$。

枚举下一个珠子的颜色 $p$（$[j\neq k]\land [p\neq k]$），此时 $dp_{i+1,k,p} = dp_{i+1,k,p}+dp_{i,j,k}$ .

状态是 $O(nm^2)$ 的，转移是 $O(m)$ 的，总复杂度 $O(nm^3)$，40pts .

用前缀和优化转移，此时转移为

$$dp_{i+1,k,p}=dp_{i,1\sim m,1\sim m}-dp_{i,j,k}\qquad([j=p] \lor [k=p])$$

这转移是 $O(1)$ 的，总复杂度 $O(nm^2)$，60pts .

这个 $m$ 太冗余了，显然如果前两个随便选最后一个就有 $m-2$ 种可能，考虑不计颜色。

设第一个珠子颜色是「1」，第二个珠子颜色是「2」，最后答案乘上 $m(m-1)$ 即可（因为这两个珠子的方案是 $m(m-1)$）

Sol 1：令 $dp_{i,j,k}$ 为现在染第 $i$ 个珠子，上个颜色状态是 $j$，当前颜色状态是 $k$ 的方案数。

颜色状态：

1. 「0」：和第一个珠子和第二个珠子颜色都不同。
2. 「1」：和第一个珠子颜色相同。
3. 「2」：和第二个珠子颜色相同。

考虑转移（乘上方案数）：
$[0][0] \gets (m-3)[1][0]+[2][0]+(m-4)[0][0]$
$[1][2] \gets [0][1]$
$[2][1] \gets [0][2]$
$[0][1] \gets [2][0]+[0][0]$
$[0][2] \gets [1][0]+[0][0]$
$[1][0] \gets (m-2)[2][1]+(m-3)[0][1]$
$[2][0] \gets (m-2)[1][2]+(m-3)[0][2]$

答案是 $\text{sum}\{dp_{n,i,j}\}$（$0 ≤ i,j ≤ 2$ 且 $j ≠ 1$） 和 $\text{sum}\{dp_{n,i,j}\}$（$0 ≤ i,j ≤ 2$）

时间复杂度 $O(n)$，100pts。

Sol 2：令 $dp_{i,j}$ 为第 $i$ 个位置，颜色状态为 $j$ 的方案数。

颜色状态：

1. 「0」：第一个颜色和最后一个颜色相同
2. 「1」：第一个颜色和倒数第二个颜色相同
3. 「2」：第一个颜色和最后两个颜色都不同

与 Sol 1 类似，转移为：
$dp_{i,0} = dp_{i-1,2}$
$dp_{i,1} = (m-2)dp_{i-1,0}$
$dp_{i,2} = (m-2)dp_{i-1,1}+(m-3)dp_{i-1,2}$

答案即为 $dp_{n,1}+dp_{n,2}$ 与 $dp_{n,0}+dp_{n,1}+dp_{n,2}$ .

时间复杂度 $O(n)$，100pts .

T4 病毒扩散

题目描述

题目描述

H 国里有 $n$ 个城市，$m$ 条双向道路连接着这些城市。

两个城市之间可能有多条道路连接。任意两个城市之间都至少存在一条路径使它们互相可达。

有一天，一种神奇的病毒突然在 $start$ 号城市出现了，我们称之为 $0−$ 型病毒。这种病毒的扩散方式很神奇，如果在某一天，城市 $u$ 中有 $k−$ 型病毒，次日，病毒就会从该城市转移到所有与城市 $u$ 相邻的城市，并变异成 $(k+1)−$ 型病毒。

已知 $0−$ 型病毒可能从任意一个奇数编号的城市（即 $start$ 是一个在 $[1,n]$ 中的奇数）出现。现在你想知道，无论 $0−$ 型病毒第一次从哪个城市出现，H 国是否都一定会被病毒吞噬。H 国被病毒吞噬的定义是：存在某一天，所有城市中都有相同类型的病毒。

对于下图，如果 $0−$ 型病毒在第一天出现在 $1$ 号城市，那么第二天 $2$ 号和 $3$ 号城市中都会出现 $1−$ 型病毒，第三天 $1$ 号、$2$ 号、$3$ 号城市都会出现 $2−$ 型病毒（$2$ 号城市的 $1−$ 型病毒使得 $1$ 号和 $3$ 号城市出现了 $2−$ 型病毒，$3$ 号城市的 $1−$ 型病毒使得 $1$ 号和 $2$ 号城市出现了 $2−$ 型病毒）。如果 $0−$ 型病毒在第一天出现在 $3$ 号城市，同理，第三天 $1$ 号、$2$ 号、$3$ 号城市都会出现 $2−$ 型病毒。因此 H 国一定会被病毒吞噬。

[1]----[2]
  \    /
   \  /
    \/
   [3]

对于下图，如果 $0−$ 型病毒第一天出现在 $1$ 号城市，那么第二天 $2$ 号城市中出现 $1−$ 型病毒，第三天 $1$ 号城市中出现 $2−$ 型病毒 $\cdots$ 每天都只有一个城市有病毒，H 国不会被病毒吞噬。

[1]----[2]

现在你获得了 H 国的地图，请你计算一下，H 国是否会被病毒吞噬。如果会，请输出 Yes，否则请输出 No。

输入描述

输入第一行，一个整数 $T$，表示测试数据组数；

对于每组数据，第一行两个整数 $n,m$，接下来 $m$ 行，每行两个整数 $u,v$ 表示 $u$ 号城市和 $v$ 号城市有一条道路相连。

输出描述

输出共 $T$ 行，第 $i$ 行的输出表示第 $i$ 组测试数据的结果。

样例输入

2
3 3
1 2
2 3
3 1
2 1
1 2

样例输出

Yes
No

数据范围

• 对于20%的数据，$1≤n≤5$，$1≤m≤10$；
• 对于50%的数据，$1≤n≤50$，$1≤m≤100$；
• 对于70%的数据，$1≤n≤500$，$1≤m≤10^3$；
• 对于90%的数据，$1≤n≤5000$，$1≤m≤10^4$；
• 对于100%的数据，$1≤n≤50000$，$1≤m≤10^5$，$1≤T≤10$.

时间限制：$\rm 1s$
空间限制：$\rm 512MB$

Sol

显然从一个城市能吞噬整个城市，那么从每个城市都能吞噬整个城市。
可以很显然的看出来这就是判图中有没有奇环，染个色即可，100pts。

下面讲 70pts 做法：

如果一个城市 $u$ 在第 $t$ 天有 $t-1$ 型病毒存在，说明存在 $u\to start$ 的长度为 $t$ 的路径（显然）。
如果一个城市在第 $t$ 天有 $t-1$ 型病毒存在，那么它在第 $t+2$ 天一定也有 $t+1$ 型病毒（显然 too）。

所以只需要判断 $start$ 到每个点是否都可以通过奇数步和偶数步到达，就说明答案是 Yes。
时间复杂度 $O(n(n+m))$，70pts。

算法 -- 图论

存图：

1. 邻接矩阵（众所周知）
2. 邻接表（vector / struct）

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Problem 1：信息传递（NOIp2015；洛谷 P2661；loj 2421）

有 $n$ 个同学（编号为 $1$ 到 $n$）正在玩一个信息传递的游戏。在游戏里每人都有一个固定的信息传递对象，其中，编号为 $i$ 的同学的信息传递对象是编号为 $T_i$ 的同学。
游戏开始时，每人都只知道自己的生日。之后每一轮中，所有人会同时将自己当前所知的生日信息告诉各自的信息传递对象（注意：可能有人可以从若干人那里获取信息，但是每人只会把信息告诉一个人，即自己的信息传递对象）。当有人从别人口中得知自己的生日时，游戏结束。请问该游戏一共可以进行几轮？

求最小环，直接遍历每个点即可。
时间复杂度 $O(n)$

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Problem 2：寻找道路（NOIp2014；洛谷 P2296；loj 2502）

在有向图 $G$ 中，每条边的长度均为 $1$，现给定起点和终点，请你在图中找一条从起点到终点的路径，该路径满足以下条件：

1. 路径上的所有点的出边所指向的点都直接或间接与终点连通。
2. 在满足条件 $1$ 的情况下使路径最短。

注意：图 $G$中可能存在重边和自环，题目保证终点没有出边。

请你输出符合条件的路径的长度。

先从终点反向 bfs 得到所有能间接到达终点的点
检查每个点的出边指向的点是否是上面的点
在所有满足条件的点中求最短路即可

时间复杂度 $O(n+m)$

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拓扑排序：

对于一 DAG，每次删去入度为 $0$ 的点，最后形成拓扑序。
只有无环图才有拓扑序。

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Problem 3：车站分级（NOIp2013；洛谷 P1983）

一条单向的铁路线上，依次有编号为 $1,2,…,n$ 的 $n$ 个火车站。每个火车站都有一个级别，最低为 $1$ 级。现有若干趟车次在这条线路上行驶，每一趟都满足如下要求：如果这趟车次停靠了火车站 $x$，则始发站、终点站之间所有级别大于等于火车站 $x$ 的都必须停靠。（注意：起始站和终点站自然也算作事先已知需要停靠的站点）

例如，下表是 $5$ 趟车次的运行情况。其中，前 $4$ 趟车次均满足要求，而第 $5$ 趟车次由于停靠了 $3$ 号火车站（$2$ 级）却未停靠途经的 $6$ 号火车站（亦为 $2$ 级）而不满足要求。

现有 $m$ 趟车次的运行情况（全部满足要求），试推算这 $n$ 个火车站至少分为几个不同的级别。

不停的站比停的站级别低，若 $a$ 比 $b$ 级别低，连一条 $a\to b$ 的有向边，
求出这个有向无环图中的最长路就是答案。

时间复杂度 $O(n^2m)$
每辆火车建立一个虚点，边数可以优化到 $O(nm)$

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01 最短路

给定一个图 $G$，边权只有 $0$ 和 $1$，求 $s$ 到 $t$ 的最短路。

显然边权里只有 $1$ 的话可以 bfs。
若边权里还有 $0$ 直接 bfs 就不行了，如：

此时那条边权为 $1$ 的边会直接更新点 $3$ 的最短路，答案就错了。

可以修改一下 bfs，采用如下策略（使用双端队列（deque））：

• 如果走的是边权为 $0$ 的边，插入队头更新。
• 如果走的是边权为 $1$ 的边，插入队尾更新。

时间复杂度 $O(n+m)$

因为队列里要让路径长度最短，因走 $0$ 没有改变长度，显然更短，所以放队头，走 $1$ 长度变长了，所以放队尾。

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分层图
把图复制两遍，放在两个平面上（奇平面和偶平面），然后连上边。

Problem 4：加工零件（CSP2019；洛谷 P5663）

凯凯的工厂正在有条不紊地生产一种神奇的零件，神奇的零件的生产过程自然也很神奇。工厂里有 $n$ 位工人，工人们从 $1 \sim n$ 编号。某些工人之间存在双向的零件传送带。保证每两名工人之间最多只存在一条传送带。

如果 $x$ 号工人想生产一个被加工到第 $L (L \gt 1)$ 阶段的零件，则所有与 $x$ 号工人有传送带直接相连的工人，都需要生产一个被加工到第 $L - 1$阶段的零件（但 $x$ 号工人自己无需生产第 $L - 1$ 阶段的零件）。

如果 $x$ 号工人想生产一个被加工到第 $1$ 阶段的零件，则所有与 $x$ 号工人有传送带直接相连的工人，都需要为 $x$ 号工人提供一个原材料。

轩轩是 1 号工人。现在给出 $q$ 张工单，第 $i$ 张工单表示编号为 $a_i$ 的工人想生产一个第 $L_i$ 阶段的零件。轩轩想知道对于每张工单，他是否需要给别人提供原材料。他知道聪明的你一定可以帮他计算出来！

求走奇数次的路径和走偶数次的路径即可。

因为走一次必改变奇偶性，所以每个平面之间不会有连边，但是跨越两个平面会有连边。

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Problem 5：飞行路线（JLOI2011；洛谷 P4568）

简述：给一个图 $G$，有 $k$ 次机会可以将某条边的边权变为 $0$，求 $s$ 到 $t$ 的最短路径。

建分层图，上下自己建个图，然后从上到下建有向边，边权为 $0$ 即可。

Problem 6：冻结（Beijing wc2012；洛谷 P4822）

简述：给一个图 $G$，有 $k$ 次机会可以将某条边的边权减半，求 $s$ 到 $t$ 的最短路径。

同 Problem 5

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Problem 7：无向图的最小环问题（洛谷 P6175）

给定一张无向图，求图中一个至少包含 $3$ 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。该问题称为无向图的最小环问题。在本题中，你需要输出最小的环的边权和。若无解，输出 No solution.。

Floyd 滚动数组前那个第 $2$ 维 [k] 是点的最大值，所以说再连一条边即可求出一个环，对每个最短路都求一遍环即可。