题解 P1990【覆盖墙壁】

数学题

令 $A_n$ 为 $2\times n$ 的墙壁放满块的方案数，考虑递推。
显然 $A_0=1$，我们令对于 $k<0$，$A_k=0$ .

放直线型的块非常好递推：

此时答案即为 $A_{n-1}+A_{n-2}$ .

接下来考虑放 L 型块的：

显然，两个 L 型块可以并成长方形：

但是也可以通过摆几个横着的块再合并：

所以此时答案为 $2(A_{n-3}+A_{n-4}+\cdots+A_0)$ .

把两个加起来，得到

$$\large\begin{aligned}A_n&=A_{n-1}+A_{n-2}+2\left(\sum_{i=0}^{n-3}F_i\right)\\&=A_{n-1}+A_{n-2}+\sum_{i=0}^{n-3}A_i+\sum_{i=0}^{n-3}A_i\\&=\sum_{i=0}^{n-1}A_i+\sum_{i=0}^{n-3}A_i&\end{aligned}$$

如果直接暴力转移每次是 $O(n)$ 的，总复杂度也就是 $O(n^2)$ 的，显然会 tle。

注意到这是静态区间求和，所以考虑前缀和。令 $S_i=\sum\limits_{j=0}^iA_j$，递推式变为

$$\large A_n=S_{n-1}+S_{n-3}$$

这个 $S$ 可以在转移的时候递推求出来，这样就是 $O(n)$ 的了，可以通过。

注意到这个式子里面很多 $A_i$ 被反复加了，分别令 $n=k$ 和 $n=k+1$，得：

$$\large\begin{aligned}A_k&=\sum_{i=0}^{k-1}A_i+\sum_{i=0}^{k-3}A_i\\&=A_{k-1}+A_{k-2}+2A_{k-3}+\sum_{i=0}^{k-4}A_i\end{aligned}$$

$$\large\begin{aligned}A_{k-4}&=\sum_{i=0}^{k-2}A_i+\sum_{i=0}^{k-4}A_i\\&=A_{k-2}+A_{k-3}+2\sum_{i=0}^{k-4}A_i\end{aligned}$$

减一下，得到 $A_k-A_{k-1}=A_{k-1}+A_{k-3}$，即 $A_k=2A_{k-1}+A_{k-3}$ .

用这个式子递推即可。