数论 (1)

$$\Huge\color{red}{\texttt{⚠Warning}}$$

2022 年博主重读文章，发现有事实错误，语言表达也略欠缺，请理性对待文章内容（所以本文是议论文） .

本文数学公式较多，请耐心等待 .

好了，正片开始 .

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目录

• $-1$ 前言
• $0$ 带余除法
• $1$ 整除
  • $1.1$ 定义
  • $1.2$ 性质
  • $1.3$ 拓展
    • $1.3.1$ 素数
      • $1.3.1.1$ 定义
      • $1.3.1.2$ 分解质因数/分解素因子
      • $1.3.1.3$ 算法
      • $1.3.1.4$ 题目
    • $1.3.2$ GCD & LCM
      • $1.3.2.1$ 定义
      • $1.3.2.2$ 性质
      • $1.3.2.3$ 算法
      • $1.3.2.4$ 题目
• $2$ 同余
  • • $2.1$ 定义
    • $2.2$ 性质
    • $2.3$ 拓展
      • $2.3.1$ 同余类、剩余系、简系与欧拉函数
        • $2.3.1.1$ 定义
        • $2.3.1.2$ 性质
        • $2.3.1.3$ 算法
        • $2.3.1.4$ 题目
      • $2.3.2$ 同余方程（组）
        • $2.3.2.1$ 定义
        • $2.3.2.2$ 性质
        • $2.3.2.3$ 算法
          • $2.3.2.3.0$ [前置] 拓展欧几里得算法 exgcd
          • $2.3.2.3.0$ [前置] 逆元/数论倒数
          • $2.3.2.3.0$ [前置] 阶
          • $2.3.2.3.0$ [前置] 原根
          • $2.3.2.3.1$ 形如 $ax\equiv b\pmod m$ 的线性同余方程
          • $2.3.2.3.2$ 形如 $a^x\equiv b\pmod m$ 的同余方程
          • $2.3.2.3.3$ 形如 $x^a\equiv b\pmod m$ 的高次同余方程
          • $2.3.2.3.4$ 形如 $\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_1\pmod{m_1}\\\dots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}$ 的线性同余方程组
• $3$ 数论函数
  • $3.1$ 积性函数与完全积性函数
    • $3.1.1$ 定义
    • $3.1.2$ 性质
  • $3.2$ 一些特殊数论函数
    • $3.2.1$ 素数计数函数 $\pi(n)$
      • $3.2.1.1$ 定义
    • $3.2.2$ 单位函数 $\epsilon(n)$
      • $3.2.2.1$ 定义
    • $3.2.3$ 除数函数 $\sigma_k(n)$
      • $3.2.3.1$ 定义
    • $3.2.4$ 欧拉函数 $\varphi(n)$
    • $3.2.5$ 函数 $I(n)$、幂函数 $\operatorname{Id}_k(n)$ 与莫比乌斯函数 $\mu(n)$
  • $3.3$ 狄利克雷（Dirichlet）卷积
    • $3.3.1$ 定义
    • $3.3.2$ 性质
    • $3.3.3$ 有趣的性质
    • $3.3.4$ 题目
  • $3.4$ 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演
    • $3.4.1$ 莫比乌斯函数 $\mu(n)$
      • $3.4.1.1$ 定义
      • $3.4.1.2$ 性质
      • $3.4.1.3$ 算法
    • $3.4.2$ 莫比乌斯反演
      • $3.4.2.0$ [前置] 数论分块

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$-1$ 前言

这里的例题大部分用的是洛谷上的。

$0$ 带余除法

若 $a,b\in \mathbb Z$，我们将满足 $bq\le a$ 的最大的 $q$ 记做 $a$ 除以 $b$ 的商，实际上就是 $\left\lfloor\dfrac{a}b\right\rfloor$（$\lfloor x\rfloor$ 指 $x$ 向下取整），重点来了，对于这个 $q$，我们记 $r=a-bq$ 为$a$ 除以 $b$ 的余数，一般记做 $a\bmod b$。

也就是我们小学学的：

$$\LARGE a\div b=q\dots\dots r$$

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$1$ 整除

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$1.1$ 定义

若 $a,b\in \mathbb Z$ 且存在 $q\in \mathbb Z$ 使得 $b=aq$，则称 $a$ 整除 $b$，记做 $a\mid b$。$a$ 不整除 $b$ 记做 $a\nmid b$
若 $a,b\in \mathbb Z$ 且 $a\mid b$，则我们称 $a$ 是 $b$ 的约数/因数/因子，$b$ 是 $a$ 的倍数。

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$1.2$ 性质

1. $a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c$（传递性）。

2. $a\mid b,a\mid c\Leftrightarrow \forall x,y\in \mathbb Z,a\mid bx+cy$（线性组合）。

3. 一些比较显然的其他性质：

   1. $d\mid a\Rightarrow d\mid ka$（$k\in \mathbb Z$）
   2. $d\mid a,d\mid b\Leftrightarrow d\mid a\pm b$
   3. $a\mid b,b\mid a \Leftrightarrow a=b$。

证明：

1. 因 $a\mid b$，则存在 $q_1\in \mathbb Z$ 使得 $aq_1=b$（定义），同理存在 $q_2$ 使得 $bq_2=c$，代入得 $aq_1q_2=c$，即得 $a\mid c$。
2. 先证引理
   引理 1：$a\mid b\Rightarrow a\mid bx$
   证明：由定义得存在 $q\in \mathbb Z$ 使得 $aq=b$，代入，$a\mid aqx$，证毕。
   引理 2：$a\mid b\Rightarrow \forall x\in \mathbb Z,a\mid b+xa$。
   证明：由定义得存在 $q\in \mathbb Z$ 使得 $aq=b$，代入，$\forall x\in \mathbb Z,a\mid aq+xa\Rightarrow \forall x\in \mathbb Z,a\mid a(q+x)$，证毕。
   有了引理，命题就很显然了，先用 1 再用 2 就证出来了。

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$1.3$ 拓展

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$1.3.1$ 素数

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$1.3.1.1$ 定义

若一个正整数 $q$ 只有 $1$ 和 $q$ 两个因子，则称 $q$ 为素数（Prime）。

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$1.3.1.2$ 分解质因数/分解素因子

算术基本定理（唯一分解定理）：对于所有 $a\in \mathbb N^+$，$a$ 均可被唯一的分解为 $a=\prod\limits_{i=1}^O p_i^{r_i}$，其中 $p_i$ 均为素数，$O$ 称为 $a$ 的素因子个数，一般记为 $\omega(a)$，但是 OI 一般不会用到（指 $\omega(a)$）。

板子：洛谷 P2043。

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$1.3.1.3$ 算法

第一！朴素的 $\mathcal O(\sqrt n)$ 判断素数：

bool Isprime(int n)
{
    for (int i=2;i*i<=n;i++) // 因子是以 i,n/i 对称的，所以只需要枚举 [1,√n] 的数即可；并且注意 i=2 开始。
    if (!(n%i)) return false; // !(n%i) == (n%i==0)，这句话的意思就是如果 i 是 n 的因子。
    return true; // 没有其他因子，那么就是素数喽
}

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第二！埃氏筛

我们考虑维护一个数组 isprime，然后直接把所有素数的倍数都标记为 false，判断时就可以直接 isprime[n] 了。
我们只需要遍历即可遍历所有素数（我们将 isprime[n]=false 的不进行筛，因为整除性），证明：
数学归纳法，$[2,2]$ 素数显然成立，如果目前把 $[2,n]$ 的素数都筛完了，那么如果 isprime[n+1]=false 成立；否则，如果它不是素数，那么它一定有一个 $[2,n-1]$ 之内的因子，但是如果它有这个因子早就被筛掉了，证毕。

gif 图片如下：

Code:

const int N=???;
bool isprime[N]; // 为了省去 memset，我们把 isprime[i]=false 当做其是素数。
int n; // 筛 1~n 素数
void GetPrime()
{
	isprime[0]=isprime[1]=true;
	for (int i=2;i*i<=n;i++) // 用 i*i 同上个算法。
	{
	if (isprime[i]) continue;
	for (int j=i+i;j*j<=n;j+=i){isprime[j]=true;} // 筛
	}
}

时间复杂度大约是 $\mathcal O(n\log\log n)$？因为 $\log\log n$ 已经很接近 $1$ 了，所以是近线性复杂度。

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第三！真正线性的筛法！洛谷 P3383（模板）
这筛法还能顺便给个素数表。

核心：每个合数只被它最大的非自身的因数筛掉。

所以加上素数表，如果遇到素数直接 break; 即可。

const int N=???,M=???;
int prime[N],isprime[M],pi_; // pi_ 这个命名其实是表示 π(n) 函数
void GetPrime()
{
	isprime[0]=isprime[1]=true;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!isprime[i]) prime[pi_++]=i;
		for (int j=0;(j<pi_)&&(i*prime[j]<=N);j++) // j 用来枚举所有素数，我们都有素数表了就不用枚举了。
		{
			isprime[i*prime[j]]=1;
			if (!(i%prime[j]))break; // Core!!!!!!!!!!!! 只筛一次！！！！！！！！！
		}
    }
}

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MR 算法，仅供拓展。（判素用的，有点误差，但是复杂度接近 $\mathcal O(1)$），SPOJ288 -- PON Prime or Not 模板

一想到 $\mathcal O(1)$，我们不妨试一下随机算法。

按理来讲，我们应该是在 $[1,\sqrt n]$ 里面随机，再通过某些方式来提高正确率的。但是这样做太慢 QAQ，我们要确保每一个在 $[1,\sqrt n]$

中的数都不是 $n$ 的因子，显然用随机试的算法是行不通的。那么，我们该怎么办？

数论中，我们有 Fermat 小定理:

$p$ 是素数 $\Rightarrow x^p\equiv p\pmod p$，即 $x^{p-1}\equiv1\pmod p$。

这个定理对于任何质数成立；但是反过来不一定。满足 Fermat 小定理的数不一定是质数。事实上，如果对任意$b\in \mathbb{N},b^{p-1}≡1\pmod p$，我们就称 $p$ 为 Carmichael 数（伪 素 数）。运用 Fermat 小定理，我们可以判定一个数不是质数，但是不能判定一个数是质数（这个方法叫费马素性测试）。

不过，这给我们的随机枚举提供了一个不错的启示:不是随机枚举 $n$ 的因子，而是一个基底 $b$。若对于不同的基底，都有$b^{p-1}≡1\pmod p$，$p$ 是质数的可能性就更大了。事实上，如果 $p$ 满足 $b^{p-1}≡1\pmod p$，那么 $p$ 就叫做"基于 $b$ 的伪素数"。

证明如下：

引入二次探测定理：

这个定理叫做“二次”是有原因的。其一，它是费马小定理探测质数的辅助工具，作为第二道屏障；其二，它和一个"二次同余方程"有关。定理如下:

若 $x^2≡1\pmod p$，则 $x≡1\pmod p$ 或 $x≡p-1\pmod p$

这个定理比较好证明：

对于一个质数 $p$，只要 $p$ 和二次探测定理不符，那么我们就可以肯定 $p$ 不是质数、事实上，我们常常直接用这个定理去判定质数，而不是用费马小定理。

无论是费马小定理还是二次探测定理，我们都需要选取若干个合适的基底来进行测试。一般而言，我们会选取这五个基底： $2,3,7,61,24251$。当需要测试的数据规模在 $10^{16}$ 左右时，它的表现效果还是可以的。但当数据规模更大些时，你必须考虑将基底扩大一些。在这个基底的基础上，可以考虑选取前 $10\sim 15$大的质数，从而解决几乎 $100\%$ 的数据。

对于每一个基底 $b$ 和一个待判断的数 $x$，我们进行如下测试：

1. 用费马小定理判定一下这个数是不是合数。
2. 如果 $x-1$ 是偶数，我们可以对费马小定理做如下变形：

$b^{x-1}≡1\pmod x\;\Rightarrow b^{\frac{x-1}2\times2}≡1\pmod x$

这样就可以用二次探测定理看一下有没有 $b^{\frac{x-1}{2}}≡1$ 或 $x-1\pmod x$ 了。如果都不满足， $x$ 就一定不是质数。

如果 $\dfrac{x-1}{2}$ 同样是一个偶数，我们可以继续将它拆成 $\dfrac{x-1}{4}\times 2$，然后再用一次二次探测定理来做。

3. 对于二次探测定理 $X^k≡1\pmod x$ ，如果 $k$ 是奇数或者 $X≡x-1\pmod x$，此时我们没有办法再拿这个数做文章了。我们只能暂时认定 $x$ 是质数。

注意到这就是 Miller Rabin 算法具有随机性的证据之二：对质数的判定不充分。但事实上，用上面这种方法已经可以成功地判定许多质数了，在实际应用中是值得信赖的。

上面这个算法的时间复杂度是$\mathcal O(\log^2 n)$的：瓶颈在于快速幂和分解待验证的数；但实际运行时，速度是相当快的。

显然，我们不难看出上述代码有大量需要优化的地方。就比如说，开始的那次费马小定理的判定是完全没有必要的。我们可以直接把这一过程留到二次探测定理去执行。
其次，我们使用二次探测定理时每次都要探测 $\log n$ 次，这个次数是可以稍微有所优化的。

对于前者，我们直接删去开头的费马小定理判断就可以了。对于后者，网上广为流传这样一种优化技巧:

设 $k=x-1=2p?d$，$d$ 是一奇数，那么之前二次探测定理 $X^2≡1\pmod x$ 检测的数 $X$ 分别是如下几个数：$b^{2^p\times d},b^{2^{p-1}\times d},b^{2^{p-2}\times d}，\dots,b^d$。

如果我们从后往前检测，如果其中一个数 $X$ 通过了二次探测定理，就直接判定 $x$ 是质数。

这个新算法的流程如下:

1. 按上面的方法计算出 $d$ 和 $p$。记 $cur=bd$，如果 $cur\equiv 1$ 或 $x-1\pmod x$就直接判定 $x$ 是质数。
2. 每次把 $cur$ 赋值为 $cur^2 \bmod x$直到 $cur=bk$。这个过程等价与将 $cur$ 从 $bd$ 往 $bk$ 的方向扫描。
3. 如果 $cur=x-1$ 则直接判定 $x$ 为质数。否则转 $2$。
4. 如果上述测试都没有判定 $x$ 为质数，则直接判定 $x$为合数。

代码就不给了。

• 证明引用：费马小定理，二次探测定理

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$1.3.1.4$ 题目

洛谷 P1876。

因为因子对于 i,n/i 对称，再由于埃氏筛原理，应该每个数被按开关的次数就是 $d(n)$，因为对称，所以显然大多数 $d(n)$ 是偶数，也就是最后是关着灯的。
当然，如果有一个 i 使得 $i=\dfrac n i$，它就是开着的那个灯了。
我们可以发现，这种 $n$ 只有完全平方数且 $i=\sqrt n$。

Code:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
	int now=1,n;
	cin>>n;
	while (now*now<=n) cout<<now*now<<' ',now++;
	return 0;
}

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$1.3.2$ GCD & LCM

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$1.3.2.1$ 定义

OIWiki - GCD

若 $a_1,a_2$ 是两个不全为 $0$ 的整数，若 $d\mid a_1$ 且 $d\mid a_2$，我们则称 $d$ 为 $a,b$ 的公约数，我们将最大的 $d$ 称为 $a_1,a_2$ 的最大公约数（GCD），数学上一般记做 $(a_1,a_2)$，OI 里一般记做 $\gcd(a_1,a_2)$。
若 $\gcd(a_1,a_2)=1$，则称 $a_1,a_2$ 互素/互质（可以记做 $a_1\perp a_2$）。

若 $a_1,a_2$ 是两个不全为 $0$ 的整数，若 $a_1\mid l$ 且 $a_2\mid l$，我们则称 $l$ 为 $a,b$ 的公倍数，我们将最小的 $l$ 称为 $a_1,a_2$ 的最小公倍数（LCM），数学上一般记做 $[a_1,a_2]$，OI 里一般记做 $\operatorname{lcm}(a_1,a_2)$。

在这篇文章中，GCD 与 LCM 记做 $\gcd(a,b)$ 与 $\operatorname{lcm}(a,b)$；而 $(l,r)$ 与 $[l,r]$ 表示区间。

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$1.3.2.2$ 性质

1. 定理：对于 $a,b\in\mathbb N^+$ ，我们找出 $a,b$ 的质因数分解中相同的部分，然后算出它的值，就是 $\gcd(a,b)$ 啦。
   $\text{　　}$ $\text{　　}$ $\text{　　}$ $\text{　　}$ $\text{　　}$ 如果你把 $\gcd(a,b)$ 只算一次，然后把 $a,b$ 剩余的部分也加上，就是 $\operatorname{lcm}(a,b)$ 喽。
2. 显然，我们由 1 得到了一个重要性质：$\large \gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)=ab$。
3. 辗转相除：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$。
4. 辗转相减（其实叫「更相减损」的；和辗转相除同出一源）：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a-b)$。

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$1.3.2.3$ 算法

计算 $\gcd$ 与 $\rm lcm$：

// 辗转相除，O(log n) 的，用斐波那契数列的相邻两项能卡到 n^2。
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;} // 对于 b=0 辗转相除法是要特判的
int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;} // 套公式 gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b，改变了运算顺序防止爆掉 int

但是如果用高精的话（[SDOI2009] SuperGCD）就用更相减损术，减法比取模算的快。

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$1.3.2.4$ 题目

洛谷 P6068

随便推推式子可知要最大化答案必须得寻找一个最小的 $k\in \mathbb N^+$ 且满足 $k\ge 6$ 且 $k\mid n$ 然后用 $n$ 除一下。

直接分解质因数大力计算即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e7+5;
int t,n,m,h,s[N];
int main()
{
//	freopen("input.in","r",stdin);
	cin>>t;
	while (t--)
	{
		bool q=false;
		cin>>n; h=0;
		for (int i=1;i*i<=n;i++) // 分解
			if (!(n%i)){++h; s[h]=i; ++h; s[h]=n/i;}
		sort(s+1,s+1+h);
		for (int i=h;i>=1;i--)
		{
			if (n/s[i]>5){cout<<s[i]<<'\n';q=true;break;}
		} if (!q) cout<<"-1\n";
	} // 反着来的
	return 0;
}

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洛谷 P1888

众所周知 sin 用短直角边和斜边除一下就行了，也就是最短边除一下最长边。

约分同时约 $\gcd$ 即可，放到例题里真没什么必要。

#include<iostream>
#include<algorithm> // <algorithm> 里面有 __gcd 直接求 GCD，但是 NOIP 不能用。
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
	int a,b,c;
	cin>>a>>b>>c;
	cout<<min(a,min(b,c))/__gcd(min(a,min(b,c)),max(a,max(b,c)))<<'/'<<max(a,max(b,c))/__gcd(min(a,min(b,c)),max(a,max(b,c)));
	return 0;
}

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NOIp2001普及组 最大公约数与最小公倍数问题

众所周知 $\gcd(a,b)\rm lcm(\it a,b\rm)=\it ab$，然后暴力即可。

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int x,int y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int lcm(int x,int y) {return x*y/gcd(x,y);}
int main()
{
	int x0,y0,s=0;
	cin>>x0>>y0;
	for (int p=1;p<=y0;p++)
		for (int q=1;q<=y0;q++)
			if (gcd(p,q)==x0&&lcm(q,p)==y0) s++;
	cout<<s;
	return 0;
}

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洛谷 P1372

取 $\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor,2\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor,3\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor,\dots,k\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor$ 即可，显然这些数的 $\gcd$ 是 $\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor$。

Code:

#include<iostream>
using namespace std; // n / k   P r o b l e m
int main()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	cout<<n/k;
	return 0;
}

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$2$ 同余

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$2.1$ 定义

有 $m\in \mathbb N^+$，$a,b\in \mathbb Z$，若 $m\mid a-b$，则称 $a$ 和 $b$ 模 $m$ 同余，记做 $a\equiv b \pmod m$。

其实就是 $a\bmod m=b\bmod m$ 啦。

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$2.2$ 性质

1. $a\equiv b\pmod m\Rightarrow a\pm k\equiv b\pm k\pmod m \Rightarrow ak\equiv bk\pmod m\Rightarrow a^k\equiv b^k\pmod m$（$k\in \mathbb Z$ 且对于上述公式有意义）
2. $a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m\Rightarrow a\pm c\equiv b\pm d\pmod m$
3. 若 $p$ 为素数，则 $a^p\equiv a\pmod p$，当且仅当 $a\perp p$ 时，$a_{p-1}\equiv 1\pmod p$。

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$2.3$ 拓展

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$2.3.1$ 同余类、剩余系、简系与欧拉函数

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$2.3.1.1$ 定义

定义对于给定正整数 $m$，$C_r=\{x\in \mathbb Z\mid x\equiv r\pmod m\}$ 。我们称 $C_{0\dots m-1}$ 为模 $m$ 的 同余类/剩余类，显然 $C_{0\dots m-1}$ 构成 $\mathbb Z$ 的一个划分。

取 $a_i\in C_i$，即可得到模 $m$ 的一个完全剩余系 $a$，常用的是 $1,2,\dots m-1$，我们称其为模 $m$ 的最小完全剩余系。

对于取的 $a_i\perp m$ 的情况，$a_i$ 称为模 $m$ 的一个简系。

欧拉函数 $\varphi(n)$ 是一个定义在正整数集上的函数，模 $m$ 的一个简系的元素个数称为 $\varphi(n)$，也可称作 $1\sim n$ 与 $n$ 互素的数的个数（也可写作 $0\sim n-1$ 与 $n$ 互素的数的个数），可表示为 $\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i\perp n]$。
$[x]$ 为条件符号，若 $x$ 为真则返回 $1$，否则返回 $0$，相当于 bool(x)。

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$2.3.1.2$ 性质

剩余系什么的没啥性质，主要是欧拉函数。

1. 若 $m,n$ 互质，则 $\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$（积性函数）
2. 若 $n$ 为奇数，则 $\varphi(2n)=\varphi(n)$。
3. 通式：若 $n=\sum\limits_{i=1}^s p_i^{a_i}$，则 $\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^s\left(1-\dfrac{1}{p_i}\right)$。
4. 欧拉定理：若 $a,m\in \mathbb N^+$，$a\perp m$，$m\ge 2$，则 $a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m$
5. $1\sim n$ 与 $n$ 互素的数之和为 $\dfrac12 n \varphi(n)$。
6. 对于任意正整数 $n$，$\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n$。

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$2.3.1.3$ 算法

首先当然是普通求 $\varphi(n)$ 的算法：

// 第一种写法：暴力
// 时间复杂度：O(nlogn)
int phi(int n)
{
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (gcd(i,n)==1) ++ans; // gcd 这里没写
	return ans; 
}

// 第二种写法：套通式
// 时间复杂度：O(sqrt(n))

int phi(int n)
{
    int ans=n;
    for (int i=2;i*i<=n;i++) // 分解素因子 
        if(!(n%i))
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while (!(n%i)) n/=i;
        }
    if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

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线性筛欧拉函数（埃氏筛同理）。

根据欧拉函数和素因子的关系（通式），就仿照线性筛素数做就行。

const int N=???
int n,phi[N],prime[N],tot,ans;  
bool isprime[N];  
void getphi() // and prime???
{   
    phi[1]=1;  
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {  
        if (!isprime[i]){prime[++tot]=i; phi[i]=i-1;} // phi 一个素数答案显然是 n-1（2~n） 
        for (int j=1;j<=tot;j++)  
        {  
            if (i*prime[j]>N) break;  
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); // 这里用了欧拉函数的积性 
            else{phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break;}
        }  
    }
}

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$2.3.1.4$ 题目

洛谷 P2158 [SDOI2008]仪仗队

不难得出判定的写法是互质，然后随便推一下就会发现答案就是 $2\sum\limits_{i=0}^{n-1}\varphi(i)+1$。

主要是套板子，代码就不给了。

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$2.3.2$ 同余方程（组）

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$2.3.2.1$ 定义

设整系数多项式 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i$，同余式 $f(x)\equiv 0\pmod m$ 称为模 $m$ 的同余方程，若整数 $x_0$ 满足 $f(x_0)\equiv 0\pmod m$，则称 $x_0$ 为同余方程的解。显然 $x\equiv x_0\pmod m$ 都是同余方程的解，我们把它看做同余方程的 同一个解。

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$2.3.2.2$ 性质

1. $f(x)\equiv 0\pmod m$ 最多有 $m$ 个解（显然）
2. 若 $f(x),g(x)$ 都是整系数多项式，$f(x)\equiv 0\pmod m\Leftrightarrow f(x)+ms(x)\equiv 0\pmod m \Leftrightarrow f(x)+s(x)\equiv s(x)\pmod m$
3. 若 $a\perp m$，则 $f(x)\equiv 0\pmod m\Leftrightarrow af(x)\equiv 0\pmod m$。

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$2.3.2.3$ 算法

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$2.3.2.3.0$ [前置] 拓展欧几里得算法 exgcd

拓展欧几里得算法(exgcd)，可以用来找到形如 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的方程的一组特解。

由裴蜀定理知，原方程一定有解。

我们利用辗转相除法（普通欧几里得算法）。

我们设 $d=\gcd(a,b)$。

我们可以知道，我们辗转相除法的边界是 $a=d,b=0$，此时我们可以知道 $a$ 就是最大公约数，我们还可以知道，在这时一定有一解为 $x=1,y=0$，即 $1\times a+0\times b=d$。

我们知道 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$，如果我们可以推导出每一次的解 $x$ 和 $y$，与相除后的解 $x'$ 和 $y'$ 的关系；我们就可以算出其中的一个解了，（$x$ 和 $y$ 相当于是 $a$ 和 $b$ 的解，$x'$ 和 $y'$ 是 $a$ 变成了 $b$，$b$ 变成了 $a\bmod b$ 时的解（辗转相除））。

轻易得知：

$\begin{cases} ax+by=d\\ bx'+(a\bmod b)y'=d \end{cases}$

则：

$$\begin{aligned} bx'+\left(a-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\right)y'&=d\\ bx'+ay'-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y'&=d\\ ay'+b(x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y')&=d\\ \text{解得:}&\begin{cases} x=y'\\y=x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y' \end{cases} \end{aligned}$$

然后我们知道 $x$ 与 $x'$， $y$ 与 $y'$， 的关系后就可以求解了：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y) //x.y也可以用pair返回，这里用了引用
{
	if (!b){x=1;y=0;return ;}       //边界
	gcd(b,a%b);                     //辗转相除
	int tmp=y; y=x-(a/b)*y; x=tmp;  //套公式
}
int main()
{
	int a,b,x,y;
	scanf("%d %d",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d %d",x,y);
	return 0;
}

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$2.3.2.3.0$ [前置] 逆元/数论倒数

1.$\,$定义

我们称满足 $aa^{-1}\equiv 1\pmod m$ 的 $a^{-1}$ 称为 $a$ 模 $m$ 意义下的逆元（也叫数论倒数）。

逆元是模意义下的除法。

2.$\,$算法

普通求逆元用 exgcd 求解即可：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y)  //拓展欧几里得
{
    if (!b){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b);
    int tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%d",(x+b)%b);
    return 0;
}

素数的逆元：众所周知，费马小定理是：

若 $p$ 为素数，则 $x^p\equiv x\pmod p$。

当且仅当 $x\nmid p$ 时：$x^{p-1}\equiv 1\pmod p$

然后我们用后面的式子同除以一个 $x$，可以得到 $x^{-1}\equiv x^{p-2}\pmod p$，所以我们只要求出 $x^{p-2}\bmod p$ 就可以了，用快速幂求解即可。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll x,ll y,ll mod)  //快速幂
{
    ll ans=1,base=x;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans*=base;
        base*=base;y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
	ll x,p;
	scanf("%lld %lld",&x,&p);
	printf("%lld",qpow(x,p-2,p));
	return 0;
}

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线性筛逆元

线性筛肯定是 $\mathcal O(n)$ 的嘛。

首先我们设 $p=ki+r$，然后可以知道 $ki+r\equiv 0\pmod p$（因为 $ki+r=p$，所以 $p\bmod \;p=0$）。
然后我们两边同乘 $r^{-1}i^{-1}$，就得到 $kr^{-1}+i^{-1}\equiv 0\pmod p$，移项得到 $i^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p$。
我们可以知道 $k=\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor,r=p\bmod\;i$，所以我们得到公式：$i^{-1}\equiv -\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor\times p\bmod \;i^{-1}\pmod p$。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=???;
typedef long long ll;
ll inv[N];
void GetInv(ll n,ll p)
{
	for (int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p+p)%p;
}

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线性筛阶乘逆元

也就是线性筛 $n!^{-1}$。

我们设 $inv_i$ 表示 $i!$ 的逆元，我们可以轻易知道 $inv_{i+1}=\left(\dfrac{1}{i+1}\right)!^{-1}$，我们同乘 $i+1$ 就变成了，$inv_{i+1}(i+1)=\left(\dfrac{1}{i!}\right)^{-1}=inv_i$，所以我们可以得到：$inv_{i+1}(i+1)=inv_i$。

所以我们先求出 $n!$ 的逆元，再倒推回来即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=???
typedef long long ll;
ll inv[N]; 
void GetFactInv()
{
	inv[1]=inv[0]=1;
   	for (int i=1;i<=n;i++)  //求阶乘
   		inv[i]=(inv[i-1]*i)%p;
   	inv[n]=GetInv(inv[n],p); //求n!的逆元
   	for (int i=n-1;i>=1;i--)//倒推 
   		inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
   return 0;
}

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$2.3.2.3.0$ [前置] 阶

定义：满足 $a^x\equiv 1\pmod p$ 的最小正整数 $x$ 称作 $a$ 模 $p$ 的阶，写作 $\langle a \rangle$（显然条件是 $a\perp p$）。

性质：

1. $\langle a \rangle\mid \varphi(p)$
2. $a^0,a^1,a^2,\dots,a^{\langle a \rangle-1}$ 两两不同。
3. $a^x\equiv a^y\pmod p$ 的充要条件是 $x\equiv y \pmod{\langle a \rangle}$。

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$2.3.2.3.0$ [前置] 原根

定义：满足 $g$ 关于模 $p$ 的阶等于 $\varphi(p)$ 的 $g$ 是 $p$ 的一个原根。

性质：

1. $g^r\equiv x\pmod p$ 的 $r$ 是唯一的，反之亦然（$g$ 是 $p$ 的原根），$x<p$，$r<\varphi(p)$。
2. 质数的原根个数是 $\varphi(\varphi(p))$。
3. 一个模数存在原根的充要条件是，这个模数可以表示为$1,2,4,p,2p,p^n$其中 $p$ 是奇质数，$n$ 是任意正整数。

算法：考虑到最小的原根一般比较小，所以我们枚举原根然后判断。
假设我们当前枚举到 $i$，判断的时候只需要枚举 $\varphi(p)$ 的质因子 $p_{1\dots k}$。然后判断 $i^{\frac{\varphi(p)}{pj}}$ 是不是全部都不是 $1$，如果全部都不是 $1$，$i$ 就是 $p$ 的一个原根。

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$2.3.2.3.1$ 形如 $ax\equiv b\pmod m$ 的线性同余方程

定理：

$a,b\in \mathbb Z$，一元一次同余方程 $ax\equiv b\pmod m$ 有解的充要条件是 $\gcd(a,m)\mid p$，其解数为 $\gcd(a,m)$。
若 $x_0$ 为其一解，那么他的 $\gcd(a,m)$ 个解分别为 $x\equiv x_0+\dfrac{m}{\gcd(a,m)}\times t\pmod m$，其中 $t=0,1,\dots,\gcd(a,m)-1$。

读者自证不难（逃）。

有了后面这个关系就可以 exgcd 求所有解，比如 NOIp2012 提高组 洛谷 P1082 就是个 $b=0$ 的特殊情况。

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$2.3.2.3.2$ 形如 $a^x\equiv b\pmod m$ 的同余方程

当 $a\perp m$ 时，使用 BSGS（北上广深 百事公司 Baby Step Giant Step 大步小步）算法，复杂度 $\mathcal O(\sqrt p)$：

设 $x=pm-q$，然后原式就成了 $a^{pm}\equiv ba^q\pmod m$，然后右边枚举 $b$ 再用 hash 存起来（用 map 也不错），左边枚举 $a$ 再一个个判即可。

// 核心代码
int m=sqrt(p)+1; Hash.Clear();
for (int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p) Hash.Insert(t,i);
for (int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=tt;i<=m+1;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
	int k=Hash.Query(t);
	if (k==-1) continue;
	printf("%d\n",i*m-k);return ;
}

对于 $a\not\perp m$（？？？）时，使用 exBSGS 算法：

令 $d=\gcd(y,p)$，然后将方程改成等式 $a^x+kp=b$，注意到 $b$ 必须是 $d$ 的倍数否则无解，所以除一下 $d$ 得 $\dfrac ada^{x-1}+k\dfrac pd=\dfrac bd$，然后无限迭代成 $\dfrac{y^k}dy^{x-k}\equiv \dfrac bd\pmod{\dfrac pd}$，所以 BSGS 求一下在还原回去即可。

// 核心代码
void ex_BSGS(int y,int z,int p)
{
	if (z==1){puts("0");return;}
	int k=0,a=1;
	while (19260817) // 变换
	{
		int d=__gcd(y,p);if(d==1)break;
		if (z%d){NoAnswer(); return ;}
		z/=d;p/=d;++k;a=1ll*a*y/d%p;
		if (z==a){printf("%d\n",k); return ;}
	}
	Hash.clear();
	int m=sqrt(p)+1; // BSGS
	for (int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p) Hash.Insert(t,i);
	for (int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=1ll*a*tt%p;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)
	{
		int B=Hash.Query(t);
		if (B==-1) continue;
		printf("%d\n",i*m-B+k); return ;
	}
	NoAnswer();
}

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$2.3.2.3.3$ 形如 $x^a\equiv b\pmod m$ 的高次同余方程

this，目前看不懂，等看懂了补上。

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$2.3.2.3.4$ 形如 $\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_1\pmod{m_1}\\\dots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}$ 的线性同余方程组

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$3$ 数论函数

一般地，可把数论函数看做是整数集上定义的函数。

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$3.1$ 积性函数与完全积性函数

$3.1.1$ 定义

若 $f$ 是一个数论函数，且对于任意 $a\perp b$ 均有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则称 $f$ 为积性函数。
若 $f$ 是一个数论函数，且对于任意 $a,b$ 均有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则称 $f$ 为完全积性函数。

$3.1.2$ 性质

由唯一分解定理知，对于任意积性函数 $f$ 一定可以表示为 $f(x)=\prod\limits_{i=1}^{\omega(x)}{p_i^{a_i}}$，其中 $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots$ 是 $x$ 的标准分解（然后就可以直接转换递归做了）。

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$3.2$ 一些特殊数论函数

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$3.2.1$ 素数计数函数 $\pi(n)$

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$3.2.1.1$ 定义

素数计数函数 $\pi(n)$ 为不超过 $n$ 的素数个数，即 $\pi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[i\text{ is a prime}]$。

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$3.2.2$ 单位函数 $\epsilon(n)$

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$3.2.2.1$ 定义

$\epsilon(n)=[n=1]$，也就是 $\epsilon(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\text{otherwise.}\end{cases}$
显然，单位函数是完全积性函数。

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$3.2.3$ 除数函数 $\sigma_k(n)$

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$3.2.3.1$ 定义

$\sigma_k(n)$ 就是 $n$ 的所有因子的 $k$ 次方和，即 $\sigma_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}d^k$。

特殊的，$\sigma_0(n)$ 为 $n$ 的因数个数，常记做 $d(n)$；$\sigma_1(n)$ 为 $n$ 的因数和，常记做 $\sigma(n)$。

除数函数是积性函数。

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$3.2.4$ 欧拉函数 $\varphi(n)$

前面同余讲了

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$3.2.5$ 函数 $I(n)$、幂函数 $\operatorname{Id}_k(n)$ 与莫比乌斯函数 $\mu(n)$

定义 $I$ 为取值常为 $1$ 的函数，定义幂函数 $\operatorname{Id}_k(n)=n^k$，对于 $k=1$ 时，$\operatorname{Id}_1$ 常记做 $\operatorname{Id}$。

莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 将在章节「$3.4$ 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演」处展开。

$\mu(n)$ 是积性函数。

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$3.3$ 狄利克雷（Dirichlet）卷积

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$3.3.1$ 定义

若 $f,g$ 为数论函数，则我们称 $f$ 和 $g$ 的 Dirichlet 卷积 $f*g=\sum\limits_{ij=n}f(i)g(j)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(\dfrac nd)$，后面那个是一般用的表示形式。

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$3.3.2$ 性质

1. 交换律：$f*g=g*f$。
2. 结合律：$f*g*h=f*(g*h)$。
3. 分配律：$f*h+g*h=(f+g)*h$。
4. 结合律 II：$(xf)*g=x(f*g)$（$x$ 是一个系数）
5. 单位元：$\epsilon*f=f$。

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$3.3.3$ 有趣的性质

1. $\sigma_k=1*\operatorname{Id}_k$
2. $\operatorname{Id}=\varphi*1$
3. $d=1*1$
4. $\varphi=\mu*\operatorname{Id}$。

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$3.3.4$ 题目

给定 $n$（$1\le n \le 2^{32}$），求 $\sum\limits_{i=1}^n\gcd(i,n)$。

简单推式题：

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\gcd(i,n)&=\sum_{d\mid n}d\times\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\\&=\sum_{d\mid n}d\times\sum_{i=1}^{\tfrac nd|}\left[\gcd\left(i,\dfrac nd\right)=1\right]\\&=\sum_{d\mid n} d\times \varphi\left(\dfrac nd\right)\end{aligned}$$

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$3.4$ 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

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$3.4.1$ 莫比乌斯函数 $\mu(n)$

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$3.4.1.1$ 定义

莫比乌斯函数 $\mu(n)=\prod\limits_{p\in \rm Prime}(-1)^{[p\mid n]}[p^2\nmid n]$，但是主流的定义好像是 $\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\(-1)^s&n=\prod\limits_{i=1}^sp_i&(p_i\in \rm Prime)\\0&\rm otherwise.\end{cases}$

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$3.4.1.2$ 性质

1. $\mu(n)\neq 0$ 当且仅当 $n$ 无平方因子。

2. $\mu$ 是积性函数（前面有）

3. $\mu*1=\epsilon$

$3.4.1.3$ 算法

线性筛

void getMu() {
	mu[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; ++i) {
			if (!flg[i]) p[++tot] = i, mu[i] = -1;
			for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= n; ++j) {
				flg[i * p[j]] = 1;
				if (i % p[j] == 0) {
					mu[i * p[j]] = 0;
					break;
				}
			mu[i * p[j]] = -mu[i];
		}
	}
} //OI wiki

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$3.4.2$ 莫比乌斯反演

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$3.4.2.0$ [前置] 数论分块