乘法逆元

前置芝士：

• 同余

普通逆元

逆元是模意义下的除法。

就是求解同余方程 \(ax\equiv 1\pmod m\)。

用 exgcd 求解即可。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y)  //拓展欧几里得
{
    if (!b){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b);
    int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%d",(x+b)%b);//转 正
    return 0;
}

---

素数的逆元

我们知道素数是有费马小定理的：

若 \(p\) 为素数，则 \(x^p\equiv x\pmod p\)。

当且仅当 \(x\nmid p\) 时：\(x^{p-1}\equiv 1\pmod p\)

然后我们用后面的式子同除以一个 \(x\)，可以得到 \(x^{-1}\equiv x^{p-2}\pmod p\)，所以我们只要求出 \(x^{p-2}\bmod p\) 就可以了，用快速幂求解即可。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll x,ll y,ll mod)  //快速幂
{
    ll ans=1,base=x;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans*=base;
        base*=base;y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
	ll x,p;
	scanf("%lld %lld",&x,&p);
	printf("%lld",qpow(x,p-2,p));
	return 0;
}

---

线性筛逆元

让人感受线性筛的奥妙

线性筛肯定是 \(\mathcal O(n)\) 的嘛。

首先我们设 \(p=ki+r\)，然后可以知道 \(ki+r\equiv 0\pmod p\)（因为 \(ki+r=p\)，所以 \(p\bmod \;p=0\)）。

然后我们两边同乘 \(r^{-1}i^{-1}\)，就得到 \(kr^{-1}+i^{-1}\equiv 0\pmod p\)，移项得到 \(i^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p\)。

我们可以知道 \(k=\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor,r=p\bmod\;i\)，所以我们得到公式：

\[i^{-1}\equiv -\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor\times p\bmod \;i^{-1}\pmod p \]

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=10001;
typedef long long ll;
ll inv[N];
void GetInv(ll n,ll p)
{
	for (int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p+p)%p;
}

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线性筛阶乘逆元

也就是线性筛 \(n!^{-1}\)。

我们设 \(inv_i\) 表示 \(i!\) 的逆元。

我们可以轻易知道 \(inv_{i+1}=\left(\dfrac{1}{i+1}\right)!^{-1}\)，我们同乘 \(i+1\) 就变成了，\(inv_{i+1}(i+1)=\left(\dfrac{1}{i!}\right)^{-1}=inv_i\)，所以我们可以得到：

\[inv_{i+1}(i+1)=inv_i \]

所以我们先求出 \(n!\) 的逆元，再倒推回来即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll inv[3000100]; 
void GetFactInv()
{
	inv[1]=inv[0]=1;
   	for (int i=1;i<=n;i++)  //求阶乘
   		inv[i]=(inv[i-1]*i)%p;
   	inv[n]=GetInv(inv[n],p); //求n!的逆元
   	for (int i=n-1;i>=1;i--)//倒推 
   		inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
   return 0;
}