乘法逆元

前置芝士：

• 同余

普通逆元

逆元是模意义下的除法。

就是求解同余方程 $ax\equiv 1\pmod m$。

用 exgcd 求解即可。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y)  //拓展欧几里得
{
    if (!b){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b);
    int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%d",(x+b)%b);//转 正
    return 0;
}

---

素数的逆元

我们知道素数是有费马小定理的：

若 $p$ 为素数，则 $x^p\equiv x\pmod p$。

当且仅当 $x\nmid p$ 时：$x^{p-1}\equiv 1\pmod p$

然后我们用后面的式子同除以一个 $x$，可以得到 $x^{-1}\equiv x^{p-2}\pmod p$，所以我们只要求出 $x^{p-2}\bmod p$ 就可以了，用快速幂求解即可。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll x,ll y,ll mod)  //快速幂
{
    ll ans=1,base=x;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans*=base;
        base*=base;y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
	ll x,p;
	scanf("%lld %lld",&x,&p);
	printf("%lld",qpow(x,p-2,p));
	return 0;
}

---

线性筛逆元

让人感受线性筛的奥妙

线性筛肯定是 $\mathcal O(n)$ 的嘛。

首先我们设 $p=ki+r$，然后可以知道 $ki+r\equiv 0\pmod p$（因为 $ki+r=p$，所以 $p\bmod \;p=0$）。

然后我们两边同乘 $r^{-1}i^{-1}$，就得到 $kr^{-1}+i^{-1}\equiv 0\pmod p$，移项得到 $i^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p$。

我们可以知道 $k=\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor,r=p\bmod\;i$，所以我们得到公式：

$$i^{-1}\equiv -\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor\times p\bmod \;i^{-1}\pmod p$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=10001;
typedef long long ll;
ll inv[N];
void GetInv(ll n,ll p)
{
	for (int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p+p)%p;
}

---

线性筛阶乘逆元

也就是线性筛 $n!^{-1}$。

我们设 $inv_i$ 表示 $i!$ 的逆元。

我们可以轻易知道 $inv_{i+1}=\left(\dfrac{1}{i+1}\right)!^{-1}$，我们同乘 $i+1$ 就变成了，$inv_{i+1}(i+1)=\left(\dfrac{1}{i!}\right)^{-1}=inv_i$，所以我们可以得到：

$$inv_{i+1}(i+1)=inv_i$$

所以我们先求出 $n!$ 的逆元，再倒推回来即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll inv[3000100]; 
void GetFactInv()
{
	inv[1]=inv[0]=1;
   	for (int i=1;i<=n;i++)  //求阶乘
   		inv[i]=(inv[i-1]*i)%p;
   	inv[n]=GetInv(inv[n],p); //求n!的逆元
   	for (int i=n-1;i>=1;i--)//倒推 
   		inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
   return 0;
}