浅谈二维前缀和

首先要了解一个叫做前缀和的东西。

二维前缀和其实就是将普通前缀和加了一维。

也就是可以求一个矩阵内任意子矩阵元素和。

仿照一维前缀和，转移方程如下：

\[sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+a_{i,j} \]

这个转移方程嘛，主要是先通过容斥原理求出前面的和，然后再加上本身的和。

这样我们求一个左上角坐标为 \(x_1,y_1\)，右下角坐标为 \(x_2,y_2\) 的坐标中子矩阵和就可以 \(\mathcal O(1)\) 查询了，很容易得知查询 \(sum_{x2,y2}-sum_{x1-1,y2}-sum_{x2,y1-1}+sum_{x1-1,y1-1}\) 即可。

具体原理也是容斥原理qaq。

二维前缀和和前缀和一样用就好啦。