浅谈 exgcd

众所周知欧几里得算法是：

$$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$$

也叫辗转相除法。

拓展欧几里得算法(exgcd)，可以用来找到形如 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的方程的一组特解。

由裴蜀定理知，原方程一定有解。

我们利用辗转相除法（普通欧几里得算法）。

我们设 $d=\gcd(a,b)$。

我们可以知道，我们辗转相除法的边界是 $a=d,b=0$，此时我们可以知道 $a$ 就是最大公约数，我们还可以知道，在这时一定有一解为 $x=1,y=0$，即 $1\times a+0\times b=d$。

我们知道 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$，如果我们可以推导出每一次的解 $x$ 和 $y$，与相除后的解 $x'$ 和 $y'$ 的关系；我们就可以算出其中的一个解了，（$x$ 和 $y$ 相当于是 $a$ 和 $b$ 的解，$x'$ 和 $y'$ 是 $a$ 变成了 $b$，$b$ 变成了 $a\bmod b$ 时的解（辗转相除））。

轻易得知：

$\begin{cases} ax+by=d\\ bx'+(a\bmod b)y'=d \end{cases}$

则：

$$\begin{aligned} bx'+\left(a-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\right)y'&=d\\ bx'+ay'-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y'&=d\\ ay'+b(x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y')&=d\\ \text{解得:}&\begin{cases} x=y'\\y=x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y' \end{cases} \end{aligned}$$

然后我们知道 $x$ 与 $x'$， $y$ 与 $y'$， 的关系后就可以求解了：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y) //x.y也可以用pair返回，这里用了引用
{
	if (!b){x=1;y=0;return ;}     //边界
	gcd(b,a%b);                   //辗转相除
	int tmp=y;y=x-(a/b)*y;x=tmp;  //套公式
}
int main()
{
	int a,b,x,y;
	scanf("%d %d",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d %d",x,y);
	return 0;
}