【洛谷P1754 球迷购票问题】题解

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卡特兰数经典 $\texttt{AB}$ 分拆问题。

分析：

题意相当于排列 $n$ 个 $\texttt A$ 和 $n$ 个 $\texttt B$，使得相邻 $\texttt{AB}$（有序！）消掉，然后左右元素并到一起再消，最后消完的序列个数。

设 $\texttt{AB}$ 为一个组“1”，$\texttt{AB}$ 自嵌套一次为一个组“2”（即 $\texttt{AABB}$），以此类推。

后面大多数数字指组“数字”

题意即转换为一个数 $n$，求 $n$ 分解成若干个正整数之和的方案数。

神犇到这一步就可以切掉了吧。

我们这里考虑隔板法：

两个 $1$ 当然可以合并 $2$（$=1+1$），$a$ 和 $b$ 当然可以合并 $a+b$，问题转换为有 $n$ 个 $1$ 有多少种合并方案。

设 $n$ 个数的方案数为 $f(n)$。

考虑将 $f(n)$ 分解为 $f(x_0+y_0)$。

使用隔板：

• 当隔板在最左侧时，$x_0=0$，$f(0)=1$；$y_0=n$，因为要求合并，所以有 $n-1$ 种，由乘法原理知，此步答案为 $f(0)f(n-1)$。
• 隔板向右移动一格，$x_0=1$，也就是 $f(1)$；$y_0=n-1$，同理是 $n-2$ 种，由乘法原理知，此步答案为 $f(1)f(n-2)$。
• $\dots$
• 归纳一下，第 $i$ 步为 $f(i)f(n-i-1)$。
• 最后一步显然是 $f(n-1)f(0)$；左右对称。

于是得出递推式：

$$f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+\dots+f(i)f(n-i-1)+\dots+f(n-1)f(0)$$

朴素 dp 即可：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=25;
typedef long long ll;
ll n,dp[N];
int main()
{
	cin>>n;
	dp[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
	cout<<dp[n];
	return 0;
}

但是再深入一步，会发现 $f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+\dots+f(i)f(n-i-1)+\dots+f(n-1)f(0)$ 的这个 $f(n)$ 正好就是卡特兰数 $C_n$，这个公式正好是一个卡特兰数的递推式。