浅谈前缀和

引入

如果你想维护一个数据结构，有一个序列 $a$，每次查询 $l\sim r$ 区间和（求 $\sum\limits_{i=l}^ra_i$），只有查询，线段树&树状数组难免有些大材小用，但是维护它效率要高，甚至要达到 $\mathcal{O}(1)$。

这个东西该怎么维护呢？

我们可以创造一个序列 $s_i=\sum\limits_{j=1}^ia_i$。

这个序列显然可以用一种递归方式定义：

$s_i=\begin{cases} a_i&i=1\\ s_{i-1}+a_i&i>1 \end{cases}$

这样的话每次查询只需要输出 $s_{r}-s_{l-1}$ 就行了。

$s$ 在输入时即可统计，不会增加太多常数。

这种创造 $s$ 数组的方法叫做前缀和，$s$ 叫做对于 $a$ 的前缀和。

应用

当然前缀和在区间求和应用领域极其有用，对于前缀和的求和性质，我们可以优化一些题目，比如 P1147。

[例题1] P1569 【Generic Cow Protests】

• 题目传送门
• 我写的题解

题意简述：

将数列 $a$ 分成几组，每组数字和 $\ge 0$ ，求最大组数。

我们维护一个数组 $dp_i$ 表示区间 $1\sim i$ 之间的最优解，我们找到两个数 $i,j$，统计 $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+\dots+a_{j-1}+a_j=\sum\limits_{k=i}^ja_i$，然后更新最优解即可，注意判断不可行情况 $dp_j<0$ 即可。

这个算法的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的，显然会 TLE，我们该怎么优化呢？

我们发现，只有求和是可以优化的，我们就可以考虑维护一个前缀和数组，$\mathcal{O}(1)$ 解决求和问题，算法时间复杂度直接降到 $\mathcal{O}(n^2)$

通过这道例题我们发现前缀和真是个有用的工具，它主要用来优化区间求和问题。

[例题2] P1865 A % B Problem

• 题目传送门

题意简述：

求区间质数个数。

因为是质数我们可以尝试埃氏筛，因为是求区间质数个数，所以要 for 遍历一遍，$m\le 10^6$，时间复杂度是 $\mathcal{O}(m\log \log m+n^2)\approx\mathcal{O}(n^2)$。

$\mathcal{O}(m\log \log m)$ 已经很接近线性了，主要是优化 $\mathcal{O}(n^2)$ 部分。

我们可以维护一个序列 $p$ 表示 $1\sim p$ 质数个数，这个埃氏筛时即可解决。

然后求区间质数个数只需要按照前缀和方法相减即可，$\mathcal{O}(n^2)\to\mathcal{O}(1)$！，时间复杂度立刻降到 $\mathcal{O}(m\log \log m)\approx\mathcal{O}(m)$。

[例题3] P1043 数字游戏

• 题目传送门

题意简述：

给定一圈整数（一共 $n$个），你要按顺序将其分为 $m$ 个部分，各部分内的数字相加，相加所得的 $m$ 个结果 $\bmod \;10$ 后再相乘，使最终结果最大/最小。

首先对于环状的东西首先当然要破环为链。

我们设 $dp_{i,j,h}$ 为从 $i$ 到 $j$ 分成 $h$ 段的最大/最小值。

我们枚举中间点 $k$，则转移方程如下：

$$dp_{i,j,h}=\max(\mathrm{or} \;\min)\left(dp_{i,j,h},dp_{i,k,h-1}\sum_{p=j}^{k-1}a_i\right)$$

• 循环处注意先枚举区间长度，要不然会有遗漏。
• 再枚举左右端点，区间 dp 套路。
• 然后枚举段数用来更新。
• 最后枚举中间点 $k$。

大约时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^3m)$，跑不满的。

[例题4]P2969 [USACO09DEC]Music Notes S

• 题目传送门

题意简述：

给定序列 $a$，有序列 $b$：$b_0\sim b_{a_1-1}=1$，$b_{a_1}\sim b_{a_1+a_2-1}=2$，$b_{a_1+a_2}\sim b_{a_1+a_2+a_3-1}=3$，$\dots$，询问 $q$ 次 $b_i$。

这个维护一个前缀和标记极值，然后 upper_bound 即可解决，很简单。

时间复杂度大概是 $\mathcal{O}(q\log n)$。

总结

前缀和主要应用于优化区间求和，对于形如$\sum\limits_{i=l}^ra_i$ 的柿子可以优化到 $\mathcal{O}(1)$，做题时主要应用于 dp 的求和（虽然一般是单调队列优化）和某些区间统计问题。