浅谈Meet in the middle——MITM

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$\mathrm{Meet\;in\;the\;middle}$（简称 $\rm MITM$），顾名思义就是在中间相遇。

可以理解为就是起点跑搜索树基本一半的状态，终点也跑搜索树基本一半的状态，最后撞到中间，一种类似双向 DFS 的东西。优化还是不错的awa，减少了差不多一半。

时间复杂度可如下分析：

设向外搜索 $n$ 层需要的代价为 $k(n)$。如果不用 $\textrm{MITM}$，那么复杂度显然是 $\mathcal O(k(n))$。

以下提供两种做法：

• 方法 $1$：由 $\rm MITM$ 定义得，从起点搜索到一半的代价为 $k\left(\dfrac{n}{2}\right)$，从终点搜索到一半的代价也为 $k\left(\dfrac{n}{2}\right)$，总代价为 $2\cdot k\left(\dfrac{n}{2}\right)$，省略常数，得时间复杂度 $\mathcal O\left(k\left(\dfrac{n}{2}\right)\right)$。
• 方法 $2$：设搜索树起点与终点为 $A,B$ 连接 $B$ 与搜索树左右边缘中点，再连接两个左右边缘中点，将搜索树分为四个面积相等区块，$\rm MITM$ 仅搜索其中两个区块，得时间复杂度为 $\mathcal O\left(k\left(\dfrac{n}{2}\right)\right)$。

这种算法吧，对于 $k(n)=n^2$ 时，朴素算法为 $n^2$，$\rm MITM$ 为 $\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{n^2}{4}$，优化了 $\dfrac{1}{4}$ 复杂度。线性的优化，在数据大时效果明显。但是如果 $k(n)=2^n$，那么朴素算法为 $2^n$，$\rm MITM$ 为 $2^{\frac{n}{2}}=\sqrt{2^n}$。

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• 例题1

显然从一个节点出发进行搜索这题肯定会超时的

对于一个 $9$ 位数，一共有 $9$ 种可能的 $+1$ 操作（每一个数位都可以 $+1$），一共有 $8$ 种可能的交换操作，共 $17$ 种操作。乘法原理得如果向外搜 $10$ 层复杂度是 $17^{10}$使用某 Windows 常用计算小工具得 $17^{10}=2015993900449$ 假设计算机 $1ms$ 运行 $10^4$ 次操作还是不能 $1s$ 解决，显然 $\bold{\rm TLE}$。

告诉起始点来个 $\rm MITM$ 双向就珂以了，$17^5=1419857$，就算是 $1ms$ 跑 $10^2$ 的老爷机跑的差不多才 $0.1s$。

这题 $\rm BFS$ 可能会浪费点时间还是 $\rm DFS$ 好awa

注意用个 $\rm hash$，别 $\rm MLE$ 了

• 例题2

原题在 $\rm codevs$ 众所周知 $\rm codevs$ $\dots\dots$

有 $n$ 个砝码，现在要称一个质量为 $m$ 的物体，请问最少需要挑出几个砝码来称？
注意一个砝码最多只能挑一次。

$1\le n\le 30$，$1\le m\le 2^{31}$，$1\le \text{每个砝码的质量}\le 2^{30}$

看起来像是背包？？（

• 解法 $1$：暴！力！出！奇！迹！一发爆搜切！掉！！
  记得优化awa

  1. 用后缀和优化
  2. 用读优
  3. 如果当前使用的砝码数 $\ge$ 当前最优解，$\rm return$（最优性剪枝）；
  4. 深搜之前按从大到小排序（改变搜索顺序），$\text{当前总重量}+\text{当前砝码重量}<m$（最优性剪枝） ，$\rm return$；
  5. 如果 $\text{当前总重量}+\text{当前砝码重量}>m$ ，换下一个砝码（可行性剪枝），注意不要 $\rm return$；

  然后就可以写出代码了：
  

• 解法 $2$：用 $\rm MITM$，如果后 $\dfrac{1}{2}$ 发现有 $=m$ 的就更新答案，这个稳过，不用优化。
  代码：