53. 最大子数组和（动态规划）

 

 

 

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

 

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
 

提示：

1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104
 

 

方法一：动态规划
思路和算法

假设 \textit{nums}nums 数组的长度是 nn，下标从 00 到 n-1n−1。

我们用 f(i)f(i) 代表以第 ii 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：

\max_{0 \leq i \leq n-1} \{ f(i) \}
0≤i≤n−1
max
​
{f(i)}

因此我们只需要求出每个位置的 f(i)f(i)，然后返回 ff 数组中的最大值即可。那么我们如何求 f(i)f(i) 呢？我们可以考虑 \textit{nums}[i]nums[i] 单独成为一段还是加入 f(i-1)f(i−1) 对应的那一段，这取决于 \textit{nums}[i]nums[i] 和 f(i-1) + \textit{nums}[i]f(i−1)+nums[i] 的大小，我们希望获得一个比较大的，于是可以写出这样的动态规划转移方程：

f(i) = \max \{ f(i-1) + \textit{nums}[i], \textit{nums}[i] \}
f(i)=max{f(i−1)+nums[i],nums[i]}

不难给出一个时间复杂度 O(n)O(n)、空间复杂度 O(n)O(n) 的实现，即用一个 ff 数组来保存 f(i)f(i) 的值，用一个循环求出所有 f(i)f(i)。考虑到 f(i)f(i) 只和 f(i-1)f(i−1) 相关，于是我们可以只用一个变量 \textit{pre}pre 来维护对于当前 f(i)f(i) 的 f(i-1)f(i−1) 的值是多少，从而让空间复杂度降低到 O(1)O(1)，这有点类似「滚动数组」的思想。

 

 

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (int x : nums) {
            pre = Math.max(pre + x, x);
            maxAns = Math.max(maxAns, pre);
        }
        return maxAns;
    }
}