组合 C(N, K) = C(N - 1, K) + C(N - 1, K - 1) 的理解

组合的递推公式 C(N, K) = C(N - 1, K) + C(N - 1, K - 1) 等价于 C(N + 1, K + 1) = C(N, K + 1) + C(N, K) ，即K和N分别加1。

通过观察 C(N + 1, K + 1) = C(N, K + 1) + C(N, K)

右边第二项C(N, K)为“在N件中取K件的组合数”，左边一项C(N + 1, K + 1)为“在N+1件中取K+1件的组合数”，这两项的差C(N, K + 1)为“在N件中取K+1件的组合数”。

思路是把问题“从N件中取K件”变为“从N+1件中取K+1件”时发生的变化，当从前者变为后者，即向前者总件数N中多投入1件，并且多取出1件，这样问题可以划分为一下两部分：（可以有其他的划分？）

多取出的那件就是新投入的那件。即在N+1件中取K+1件，而其中的1件已经提前确定好（同时消耗了1个总件数和1次取的机会），问题转化为在N件中取K件，即 C(N, K) 。
多取出的那件不是新投入的那件。即在N+1件中取K+1件，而其中的1件是不能取的，实际只有N种选择（消耗了1个总件数，但不消耗取的机会），问题转化为在N件中取K+1件，即 C(N, K+1) 。

在做这样的划分的时候要保证划分是“完全”的。

（有点像全概率公式的划分？左边为相同的目的（在N+1件中取K+1件），右边是划分亦即限制条件）