POJ 4010 - 2011

http://poj.grids.cn/practice/4010/

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4010 - 2011

时间限制:
    1000ms
内存限制:
    65536kB

描述
    已知长度最大为200位的正整数n，请求出2011^n的后四位。
输入
    第一行为一个正整数k，代表有k组数据，k<=200接下来的k行，

    每行都有一个正整数n，n的位数<=200
输出
    每一个n的结果为一个整数占一行，若不足4位，去除高位多余的0
样例输入

    3
    5
    28
    792

样例输出

    1051
    81
    5521
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解题思路：

    abcd
    abcd
    .......
    abcd
    abcd
    abcd
  *abcd
-----------
....ABCD

假设一个数(abcd)^n的结果的后四位是：ABCD，那么可以得到：
D = ( d^n )%10                                      进位t1 = (d^n) / 10
C = ( n*c*(d^(n-1)) + t1 ) % 10                进位t2 =  ( n*c*d^(n-1) + t1 ) / 10
B = ( n*b*(d^(n-1)) + (n*(n-1)/2)*(c^2)*(d^(n-1)) + t2 ) % 10         进位t3
A = ( n*a*(d^(n-1)) + (n*(n-1)/2)*b*c*(d^(n-2)) + (n*(n-1)*(n-2)/6)*(c^3)*(d^(n-3)) + t3 )%10

其中：(n*(n-1)/2)表示组合数Cn2， (n*(n-1)*(n-2)/6)表示组合数Cn3。
由于a = 2, b = 0, c = 1, d = 1已知，那么带入可得：
D = 1,  t1 = 0
C = n%10, t2= n / 10
B = ( n*(n-1)/2 + t2 ) % 10, t3 =  ( n*(n-1)/2 + t2 ) / 10
A = ( 2*n +  n*(n-1)*(n-2)/6 + t3) % 10

带入样例输入可知正确性。

最后的难度在于n太大了，有200位，我们可以考虑是不是存在一个数t，使得：
(2011)^t 的末四位仍然是2011？？
那么就是解方程令D = 1, C = 1, B = 0, A = 2求出t>1的最小正整数，我们尝试t = 1001，满足要求。
再尝试t = 101不满足。再尝试501满足。所以就可以对所有的n，我们取末三位再模除500。
注意，t = 500时候，(2011)^t的末四位就是0001。所以(2011)^(t+1)的末四位就是2011.
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#include <cmath>
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#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <list>
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using namespace std;

int main()
{
    int k, n, len, ans;
    int a[4], t2, t3;
    string str;
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        cin >> str;
        len = str.length();
        n = 0;
        for (int j = len-1, t = 1; j >= 0 && j >= len - 3; j--)
        {
            n += (str[j] - '0') * t;
            t *= 10;
        }
        n %= 500;

        a[0] = 1;
        a[1] = n%10;
        t2= n/10;
        a[2] = n*(n-1)/2 + t2;
        t3 = a[2]/10;
        a[2] %= 10;
        a[3] = ( 2*n +  n*(n-1)*(n-2)/6 + t3) % 10;

        ans = a[0] + a[1]*10 + a[2]*100 + a[3]*1000;

        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}