[题解] ARC125B Squares

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题意

给定整数 \(n\)，求 \((x,y)\) 使得：

1. \(1\leq x,y\leq n\)。
2. \(x^2-y\) 是一个平方数。

思路

令 \(x^2-y=k^2\)，\(k\leq0\)。

得到 \(x^2-k^2=(x+k)(x-k)=y\)。

令 \(p=x+k\)，\(q=x-k\)，则：

1. \(x=\frac{p+q}{2}\)，则 \(p\equiv q\mod 2\)，\(1\leq \frac{p+q}{2}\leq n\)
2. \(y=pq\)，则 \(p=\frac yq\)。
3. \(q\leq p\)，则 \(p\geq\frac nq\)。

枚举 \(q\)，得到 \(p\) 的范围 \(\frac nq\leq p\leq q\) ，由于 \(q\) 一定不会超过 \(\sqrt n\)（\(q\leq p=\frac nq\)），所以在 \(O(\sqrt n)\) 内解决。

Code

#include <cstdio>
#define int long long
const int MOD = 998244353;
int n, ans;
signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n / i; i++)
		ans = (ans + (n / i - i + 2) / 2) % MOD;
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}