[算法] 二分图最小点覆盖构造方案+Konig定理证明
前言
博主很笨 ，如有纰漏，欢迎在评论区指出讨论。
二分图的最大匹配使用 \(Dinic\) 算法进行实现，时间复杂度为 \(O(n\sqrt{e})\)，其中， \(n\)为二分图中左部点的数量， \(e\) 为二分图中的边数。若是匈牙利算法，时间复杂度为 \(O(nm)\) ， \(m\) 为二分图中右部点的数量，不建议使用。
König定理
定理内容：二分图最小点覆盖的点的数量等于二分图最大匹配的边的数量。
构造方法 \(+\) 简单证明：
首先求出二分图中的最大匹配，建议使用 \(Dinic\) 。
从每一个非匹配点出发，沿着非匹配边正向进行遍历，沿着匹配边反向进行遍历到的点进行标记。选取左部点中没有被标记过的点，右部点中被标记过的点，则这些点可以形成该二分图的最小点覆盖。
遍历代码实现如下：
void dfs(int now) {
vis[now] = true;
int SIZ = v[now].size();
for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
int next = v[now][i].to;
if(vis[next] || !v[now][i].val)//正向边的容量为0说明是匹配边，反向边的容量为0说明是非匹配边
continue;
dfs(next);
}
}
那么就有以下性质：
- 若该点为左边的非匹配点，则这个点必被访问，因为这个点是整个 \(dfs\) 的起点
- 若该点为右边的非匹配点，则这个点必不会被访问，若是由左边的非匹配点才到达了这个点，那么可以将这条边变为匹配边，则匹配数 \(+1\) ，与最大匹配相冲突。若是左边的匹配点才到达了这个点，那么这个点的路径为左边非匹配点 → 右边匹配点 → 左边非匹配点 → 右边匹配点 → …… → 左边匹配点 → 右边非匹配点 ，很明显，上述路径为增广路，与最大匹配相冲突。所以，右边的非匹配点必不会被访问。
- 对于一组匹配点，要么两个都被标记，要么都不被标记。因为左部的匹配点是由右部的匹配点来遍历到的，出现必然成双成对。
有了上述的三条性质，可以发现：按照选取左部点中没有被标记过的点，右部点中被标记过的点的规则，选出来的点的点数必然为最大匹配的边数。左部的非匹配点必然被访问，则必不会被选，右部的非匹配点必不会被访问，则必不会被选。而第三条性质决定了，对于一组匹配点，会选择有且仅有一个点。故而选出的点的点数等于最大匹配的边数。
其次需要解决一个问题：保证这些点覆盖了所有的边。具体可以分为四类：
- 左部为非匹配点，右部为非匹配点。性质二已经讨论过，不可能出现这种情况，出现就不满足最大匹配的前提。
- 左部为匹配点，右部为非匹配点。同理性质二，路径类似，会出现增广路，那么这个左部的匹配点一定没有被访问过，必然被选。
- 左部为匹配点，右部为匹配点。若构成匹配边，一对匹配点中必选一个。若不构成匹配边，也是合法的，选法有四种，以下进行讨论。
- 选左上，右上。不会出现这种情况，选左上意味着左上未被访问，那么右下未被访问，则左下也没被访问，对应的右上没被访问，则右上没被选，矛盾。
- 选左下，右下。不会出现这种情况，选左下意味着左下未被访问，同理发现矛盾。
- 选右下，右上。全部边都被覆盖，合法
- 选左上，左下。同理合法。
- 左部为非匹配点，右部为匹配点。这条边为非匹配边，而起点就是从左部的非匹配点点开始，那么右部的这个点必然被访问过，必然被选。
最后在确保这是最小的方案：反证法，少选一个点，那么至少有一条匹配边会被不选，不满足点覆盖的定义，矛盾。也就是说，至少每一条匹配边都需要选一个点。
如上，证毕。
题目来源：COCI 2019/2020 Contest #6 T4. Skandi
题目大意
给定一个 \(n\times m\) 的矩阵，其中的白色点为 \(0\) ， 黑色点为 \(1\) 。黑色点可以往下一直扩展到底部，把白色点变成蓝色点，直到遇到黑色点为止。同理，也可向右扩展。问整个矩阵经过最小多少次扩展才能扩展为整个矩阵到不存在白色，并打印出每次扩展是从哪个点开始的，并打印出扩展方向。题目满足第一行第一列一定为黑色点。
思路
一道建模题。
一个白色点变为蓝色点只有两种方法，从它上方或左方的黑色点扩展而来，且只需要一个点扩展即可。可以考虑到最小点覆盖问题。
由于对于一个黑色点来说，它可以往右或往下扩展。那么它就有两个身份，也就是说一个点拥有两个编号。一个编号为把整个矩阵拉成一条链的顺序，另一个编号为前一个编号 \(+n\times m\) ，这样不会发生冲突。获得编号的函数：
int GetHash(int i, int j) {
return (i - 1) * m + j;
}
那么不难发现一个白色点，与其相关的是一个编号 \(\leqslant n\times m\) 的点，和一个编号 \(>n\times m\) 的点。把这两个点连接起来，就是一张二分图。
问题就转换为找这张图的最小点覆盖问题。使用 \(Dinic\) ，在根据上述 \(König\) 定理构造即可。
边数为白点的个数，左部点为黑点的个数，则时间复杂度为 \(O(nm\sqrt{nm})\) ，即 \(O(n^{\frac{3}{2}}m^{\frac{3}{2}})\) ，本题的 \(n\) ， \(m\) 均小于 \(500\) ，大概能够在 \(1s\) 内求出答案。
C++代码
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int MAXM = 5e2 + 5;
struct Node {
int to, val, rev;//依次为：下一个点，边的容量，相反的边的编号
Node() {}
Node(int T, int V, int R) {
to = T;
val = V;
rev = R;
}
};
vector<Node> v[MAXN];//用vector存图的癖好...
int dn[MAXN], rt[MAXN];//预处理白色点可以由哪两个点扩展而来
queue<int> q;
int de[MAXN], be[MAXN];
int twin[MAXN];
bool vis[MAXN];
int n, m, s, t;
int arr[MAXM][MAXM];
bool bfs() {//将残量网络分层
bool flag = 0;
memset(de, 0, sizeof(de));
while(!q.empty())
q.pop();
q.push(s);
de[s] = 1; be[s] = 0;
while(!q.empty()) {
int now = q.front();
q.pop();
int SIZ = v[now].size();
for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
int next = v[now][i].to;
if(v[now][i].val && !de[next]) {
q.push(next);
be[next] = 0;
de[next] = de[now] + 1;
if(next == t)
flag = 1;
}
}
}
return flag;
}
int dfs(int now, int flow) {//沿着增广路增广
if(now == t || !flow)
return flow;
int i, surp = flow;
int SIZ = v[now].size();
for(i = be[now]; i < SIZ && surp; i++) {
be[now] = i;
int next = v[now][i].to;
if(v[now][i].val && de[next] == de[now] + 1) {
int maxnow = dfs(next, min(surp, v[now][i].val));
if(!maxnow)
de[next] = 0;
v[now][i].val -= maxnow;
v[next][v[now][i].rev].val += maxnow;
surp -= maxnow;
}
}
return flow - surp;
}
int Dinic() {//网络最大流，亦可用于匈牙利，时间限制5s
int res = 0;
int flow = 0;
while(bfs())
while(flow = dfs(s, INF))
res += flow;
return res;
}
int GetHash(int i, int j) {//获取点的编号
return (i - 1) * m + j;
}
void Down(int now, int i, int j) {//黑点向下扩展，每个白点最多遍历到一次
if(i != now)
dn[GetHash(now, j)] = GetHash(i, j);
if(arr[now + 1][j] == 2)
Down(now + 1, i, j);
}
void Right(int now, int i, int j) { //黑点向右扩展，每个白点最多遍历到一次
if(j != now)
rt[GetHash(i, now)] = GetHash(i, j) + n * m;
if(arr[i][now + 1] == 2)
Right(now + 1, i, j);
}
void GetMin(int now) {//dfs求构造方式
vis[now] = true;
int SIZ = v[now].size();
for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
int next = v[now][i].to;
if(vis[next] || !v[now][i].val)
continue;
GetMin(next);
}
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
s = 0; t = 2 * n * m + 1;//源点和汇点初始化
char ch;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> ch;
if(ch == '1')
arr[i][j] = 1;
else
arr[i][j] = 2;
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
if(i == 1 && j == 1)
continue;
if(arr[i][j] == 1) {//向右或向下扩展，一个白点会被访问2次
Down(i, i, j);
Right(j, i, j);
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++) {
if(arr[i][j] == 1) {//源点到左部点，汇点到右部点连边
int now = GetHash(i, j);
int idnow = v[now].size();
int ids = v[s].size();
v[s].push_back(Node(now, 1, idnow));
v[now].push_back(Node(s, 0, ids));
now = GetHash(i, j) + n * m;
idnow = v[now].size();
int idt = v[t].size();
v[now].push_back(Node(t, 1, idt));
v[t].push_back(Node(now, 0, idnow));
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
if(i == 1 && j == 1)
continue;
if(arr[i][j] == 1)
continue;
int A = dn[GetHash(i, j)];//左部点到右部点连边
int B = rt[GetHash(i, j)];
int idA = v[A].size();
int idB = v[B].size();
v[A].push_back(Node(B, 1, idB));
v[B].push_back(Node(A, 0, idA));
}
}
printf("%d\n", Dinic());
GetMin(s);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
if(arr[i][j] == 2)
continue;
if(!vis[GetHash(i, j)])//打印答案
printf("%d %d DOLJE\n", i, j);
if(vis[GetHash(i, j) + n * m])
printf("%d %d DESNO\n", i, j);
}
}
return 0;
}
