[算法] 缩点Tarjan算法解析
（注：我在网上找了一些图，希望原博主不要在意，谢谢，(｡☉౪ ⊙｡)）
首先来了解什么是强连通分量
有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
——摘自度娘
举个栗子：
在下图中，{1，2，3，4}这4个点中，任意两点之间都可以到达。可以发现只要加入{1，2，3，4}这个集合中加入5，6任意两点，都满足不了任意两点之间都可以到达这个条件，所以不能构成强连通分量。而{5}，{6}就只单独算作两个强连通分量。所以这个图可分为3个强连通分量：{1，2，3，4}，{5}，{6}。
缩点Tarjan算法就是求出所有尽可能大的强连通分量的集合
我们定义几个变量：dfn（时间戳），low（该集合中最早遍历到的点的时间戳），s（正在访问的结点集合，用栈的方式存储），belong（当前结点属于的强连通分量的序数），elem（当前集合中元素的个数），instack（当前结点是否存在正在访问的栈中）。
可以通过定义得到：
low的初始值为该节点的时间戳。
即是：low[now]=dfn[now]。
若当前结点now的所连结点next正在被访问，则low[now]=min(low[now],dfn[next])。
若当前结点now的所连结点next未被访问，则low[now]=min(low[now],low[next])。
可以发现：
若low[now]=dfn[now]。
则正在访问的结点now与上一结点连接会形成一个环，环内元素为now与now相连的所有的结点。
实现过程：
从1号结点开始搜索，一直搜到6的时候，再也没有路了，此时，low[now]=dfn[now]，而栈顶元素就是6，所以{6}就是此图的强连通量之一。
6出栈后，栈顶元素为5，对于5进行上图中6的操作，可发现{5}为一个强连通分量
5出栈，对于3的另一条连边4进行标记，即4进栈
最后对于1的连边2进行标记。回溯后发现：dfn[1]=low[1]，从栈顶2到栈的最后一个元素1为一个强连通分量。存储{1，2，3，4}这个强连通分量。
C++实现：
void Tarjan(int now) {
low[now] = dfn[now] = ++tim;
instack[now] = true;
s.push(now);
int SIZ = v[now].size();
for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
int next = v[now][i];
if(!dfn[next]) {
Tarjan(next);
low[now] = min(low[now], low[next]);
}
else if(instack[next])
low[now] = min(low[now], dfn[next]);
}
if(dfn[now] == low[now]) {
cnt_set += 1;
int Top = -1;
while(!s.empty() && Top != now) {
elem[cnt_set]++;
Top = s.top();
belong[Top] = cnt_set;
instack[Top] = false;
s.pop();
}
}
}
结合这道题再来理解
题目描述
每头奶牛都梦想成为牛棚里的明星。被所有奶牛喜欢的奶牛就是一头明星奶牛。所有奶牛都是自恋狂，每头奶牛总是喜欢自己的。奶牛之间的“喜欢”是可以传递的——如果 A 喜欢 B，B 喜欢C，那么 A 也喜欢 C。牛栏里共有 N 头奶牛，给定一些奶牛之间的爱慕关系，请你算出有多少头奶牛可以当明星。
输入格式
第一行：两个用空格分开的整数：N 和 M。
接下来 M 行：每行两个用空格分开的整数：A 和 B，表示 A 喜欢 B。
输出格式
一行单独一个整数，表示明星奶牛的数量。
输入输出样例
输入
3 3
1 2
2 1
2 3
输出
1
说明/提示
只有 3 号奶牛可以做明星。
思路
首先考虑一个简单的问题：若该图是一个有向无环图，则必有一个点的出度为0。若还存在一个点出度也为0，则本题无解（较为简单就不证了）。
但是，现实是残酷的。
这张图中可能存在环，所以先用Tarjan缩点，将该图转换为有向无环图。在把该图当做上述情况求解即可。
C++代码
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e4 + 5;
vector<int> v[MAXN];
stack<int> s;
int dfn[MAXN], low[MAXN], belong[MAXN], elem[MAXN];
bool instack[MAXN];
int tim, cnt_set;
int out[MAXN];
int n, m, ans;
void Read();
void Tarjan(int);
void Build();
void Count();
int main() {
Read();
Build();
Count();
return 0;
}
void Count() {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int SIZ = v[i].size();
for(int j = 0; j < SIZ; j++) {
int next = v[i][j];
if(belong[i] != belong[next])
out[belong[i]]++;
}
}
for(int i = 1; i <= cnt_set; i++) {
if(!out[i]) {
if(!ans)
ans = i;
else {
ans = 0;
break;
}
}
}
printf("%d", elem[ans]);
}
void Build() {
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i])
Tarjan(i);
}
void Tarjan(int now) {
low[now] = dfn[now] = ++tim;
instack[now] = true;
s.push(now);
int SIZ = v[now].size();
for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
int next = v[now][i];
if(!dfn[next]) {
Tarjan(next);
low[now] = min(low[now], low[next]);
}
else if(instack[next])
low[now] = min(low[now], dfn[next]);
}
if(dfn[now] == low[now]) {
cnt_set += 1;
int Top = -1;
while(!s.empty() && Top != now) {
elem[cnt_set]++;
Top = s.top();
belong[Top] = cnt_set;
instack[Top] = false;
s.pop();
}
}
}
void Read() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= m; i++) {
int A, B;
scanf("%d %d", &A, &B);
v[A].push_back(B);
}
}
