[冲刺国赛2022] 数叶子

一、题目

有一棵 \(n\) 个点的树，每条边被分配了一个在 \(1,2...m\) 中的整数作为编号，且这些编号两两不同。

对于所有的标号方式，求出这个问题的答案的和：保留编号在 \([l,r]\)（\(1\leq l\leq r\leq m\)）的边构成的森林中，有多少个点是叶子。（在本题中，叶子的定义为有恰好一个相邻点的节点）

\(n\leq 10^6,m\leq 10^9\)

二、解法

可以用简单的贡献法写出答案，我们枚举区间长度 \(i\) 和作为叶子贡献的点 \(u\)：

\[\sum _{i=1}^m (m-i+1)\sum_{u=1}^n d_u\cdot i\cdot A(m-i,d_u-1)\cdot A(m-d_u,n-1-d_u) \]

把上面的式子变一下形，可以得到：

\[\sum_{u=1}^n d_u\cdot A(m-d_u,n-1-d_u)\sum_{i=1}^m i\cdot A(m-i+1,d_u) \]

所以问题变成了，对于每个度数 \(d\) 求出：

\[\sum_{i=1}^m i\cdot A(m-i+1,d)=\sum_{i=1}^m i(m-i+1)^{\underline d} \]

把 \(i\) 当成自变量，在脑海中展开上式，发现它是一个关于 \(m\) 的 \(d+2\) 次多项式。因为 \(m<d\) 时点值为 \(0\)，所以只需要暴力求出剩下的点值，然后用 \(O(n)\) 的拉格朗日插值法即可解决问题。

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组合意义保平安，我们把枚举区间和分配标号两部分放在一起计数。问题变成了，有 \(m+2\) 个点，要从中选出 \(d+2\) 个点，其中两个点代表了区间 \([l,r]\)（指定标号的左右两个点），再乘上分配标号的 \(d!\) 即可：

\[\sum_{i=1}^m i\cdot A(m-i+1,d)={m+2\choose d+2}\cdot d! \]

时间复杂度 \(O(n)\)

#include <cstdio>
const int M = 1000005;
const int MOD = 1004535809;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,d[M],b[M],inv[M],a[M];
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=r*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
signed main()
{
	freopen("leaf.in","r",stdin);
	freopen("leaf.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<n;i++)
		d[read()]++,d[read()]++;
	for(int i=1;i<=n;i++) b[d[i]]++;
	//
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++)
		inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	a[0]=((m+2)*(m+1)>>1)%MOD;
	for(int i=1;i<n;i++)
		a[i]=a[i-1]*(m+1-i)%MOD*inv[i+2]%MOD;
	//
	int f1=1,f2=1,ans=0;
	for(int i=0;i<n-1;i++) f2=f2*(m-i)%MOD;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		f1=f1*i%MOD;f2=f2*qkpow(m-i+1,MOD-2)%MOD;
		ans=(ans+b[i]*f1%MOD*f2%MOD*i%MOD*a[i])%MOD;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}