[模板] BEST 定理

一、题目

点此看题

二、解法

这篇博客主要记录我的感性理解，相信能帮助你直观地理解 \(\tt BEST\) 定理。

首先对于一条欧拉路径，我们考虑保留每个点的最后一条出边。可以证明出边一定构成一棵内向树，我们只需要证明不会构成环，而如果构成环，考虑走完环的最后一条出边一定会停留在这个点，那么就无法停留在出发点了，这与欧拉路径是矛盾的。

所以我们考虑统计出内向树的个数，那么剩下的边怎么排列呢？发现任意排列都可以构成欧拉路径，所以要乘上 \(\prod_{i=1}^n(deg(i)-1)!\)，那么我们就得到了 \(\tt BEST\) 定理，设 \(T\) 为内向生成树个数：

\[T\cdot \prod_{i=1}^n(deg(i)-1)! \]

本题起点第一条边的选择也是需要考虑的，所以还要在此基础上乘上 \(deg(1)\)

使用此定理的条件是存在欧拉路径，我们需要判断每个点入度\(=\)出度，以及所有的边弱联通。计算行列式的时候对于没有边的点需要忽略（要不然就把 \(0\) 乘进去了）

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 105;
const int M = 200005;
const int MOD = 1e6+3;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int T,n,fac[M],in[N],out[N],fa[N],a[N][N];
int find(int x)
{
	if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
int qkpow(int a,int b)
{
	int r=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) r=r*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
int gauss()
{
	int ans=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)
			if(!a[i][i] && a[j][i])
			{
				swap(a[i],a[j]);
				ans=MOD-ans;
				break;
			}
		if(out[i]) ans=ans*a[i][i]%MOD;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(i==j || !a[j][i]) continue;
			int t=a[j][i]*qkpow(a[i][i],MOD-2)%MOD;
			for(int k=1;k<=n;k++)
				a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%MOD+MOD)%MOD;
		}
	}
	return ans;
}
void work()
{
	n=read();int fl=1;
	memset(a,0,sizeof a);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i,in[i]=out[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int k=read();
		while(k--)
		{
			int j=read();out[i]++;in[j]++;
			a[i][i]=(a[i][i]+1)%MOD;
			a[i][j]=(a[i][j]+MOD-1)%MOD;
			fa[find(i)]=find(j);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(in[i]!=out[i] || (out[i] && find(i)^find(1)))
			{puts("0");return ;}
	for(int i=1;i<=n;i++) fl&=(out[i]==0);
	if(fl) {puts("1");return ;}
	int ans=gauss()*out[1]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(out[i]) ans=ans*fac[out[i]-1]%MOD;
	printf("%lld\n",ans);
}
signed main()
{
	T=read();fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=200000;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	while(T--) work();
}