[luogu 5163] WD与地图
一、题目
二、解法
只能说是精神污染了，虽然每个部分都不难把但是放在一起就很难写了。
考虑无向图的情况是好做的，我们直接离线逆序询问，那么删边操作就变成了加边，单点增加操作就变成了单点减少。那么做法是显然的，我们线段树合并维护加边操作，再支持线段树单点修改和线段树上二分即可。
本题是强连通分量怎么办呢？我们类比无向图的情况，还是先离线逆序询问，考虑把每一条边的效果等效为合并两个强连通块。那么我们求出每一条边有用的时间 \(f\)，也就是恰好在这个时刻这条边的两个端点在同一个强连通分量里。
发现这个时刻是单调的，而我们要对所有边都求出这样一个时刻，那么可以考虑整体二分。考虑现在要判断一条边的 \(f\) 和 \(mid\) 的大小关系，那么我们保留加入时间在 \([0,mid]\) 的边（为 \(0\) 就表示没有被删除），如果这条边的加入时间 \(\leq mid\) 并且两端点在同一强连通分量中，那么它的 \(f\leq mid\)，否则 \(f>mid\)
但是这样做时间复杂度又有点不对，我们可以考虑动态 \(\tt tarjan\)，也就是假设我们已经对保留 \([0,l)\) 边的图缩过点了，那么我们再此基础上加入 \([l,mid]\) 的边就可以了。所以我们整体二分的时候先走右边再走左边，走右边的时候把新加入的边也保留，然后使用可撤销并查集就可以维护缩点的结果。
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，复杂度瓶颈在可撤销并查集。
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
const int M = 200005;
const int N = 30*M;
#define ll long long
const int up = 1e9;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,k,t,c[M],fa[M],siz[M],top,a[M],b[M],p[M<<1];
int cnt,rt[M],ls[N],rs[N],num[N];ll ans[M],sum[N];
int Ind,low[M],dfn[M],in[M];stack<int> s;
vector<int> g[M];map<ll,int> mp;
struct node
{
int t,x,y;
bool operator < (const node &r) const
{return t<r.t;}
}q[M],e[M],el[M],er[M],d[M];
//namespace : divide and conquer
int find(int x)
{
return fa[x]==x?x:find(fa[x]);
}
void merge(int u,int v)
{
int x=find(u),y=find(v);
if(x==y) return ;
if(siz[x]<siz[y]) swap(x,y);
//guarantee that siz[x]>siz[y]
siz[x]+=siz[y];fa[y]=x;
top++;a[top]=x;b[top]=y;
}
void tarjan(int u)
{
low[u]=dfn[u]=++Ind;
s.push(u);in[u]=1;
for(int v:g[u])
{
if(!dfn[v])
{
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(in[v])
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u])
{
int v=0;
do
{
v=s.top();s.pop();
merge(v,u);in[v]=0;
}while(v!=u);
}
}
void popout()
{
int u=a[top],v=b[top--];
siz[u]-=siz[v];fa[v]=v;
}
void cdq(int l,int r,int L,int R)
{
if(l>r) return ;
if(L==R)
{
for(int i=l;i<=r;i++)
d[++t]=node{L,e[i].x,e[i].y};
return ;
}
int mid=(L+R)>>1,tl=0,tr=0,num=0,now=top;
//build the graph of [L,mid]
for(int i=l;i<=r;i++)
{
if(e[i].t>mid) continue;
int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
p[++num]=x;p[++num]=y;g[x].push_back(y);
}
//do partial tarjan
for(int i=1;i<=num;i++)
if(!dfn[p[i]]) tarjan(p[i]);
//partition [l,r]
for(int i=l;i<=r;i++)
{
if(e[i].t<=mid && find(e[i].x)==find(e[i].y))
el[++tl]=e[i];
else er[++tr]=e[i];
}
for(int i=1;i<=tl;i++) e[l+i-1]=el[i];
for(int i=1;i<=tr;i++) e[l+tl+i-1]=er[i];
//clear
for(int i=1;i<=num;i++)
low[p[i]]=dfn[p[i]]=0,g[p[i]].clear();
Ind=num=0;
//right first !!!
cdq(l+tl,r,mid+1,R);
while(top>now) popout();
cdq(l,l+tl-1,L,mid);
}
//namespace : segment tree
int Find(int x)
{
if(x!=fa[x]) fa[x]=Find(fa[x]);
return fa[x];
}
void ins(int &x,int l,int r,int id,int f)
{
if(!x) x=++cnt;
sum[x]+=f*id;num[x]+=f;
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=id) ins(ls[x],l,mid,id,f);
else ins(rs[x],mid+1,r,id,f);
}
int comb(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x+y;
sum[x]+=sum[y];num[x]+=num[y];
ls[x]=comb(ls[x],ls[y]);
rs[x]=comb(rs[x],rs[y]);
return x;
}
ll ask(int x,int l,int r,int k)
{
if(num[x]<=k) return sum[x];
if(!x) return 0;
if(l==r) return 1ll*min(num[x],k)*l;
int mid=(l+r)>>1;
if(num[rs[x]]>=k) return ask(rs[x],mid+1,r,k);
return ask(ls[x],l,mid,k-num[rs[x]])+sum[rs[x]];
}
signed main()
{
//initialize
n=read();m=read();k=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
c[i]=read(),fa[i]=i,siz[i]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read(),v=read();
e[i].x=u;e[i].y=v;mp[1ll*u*n+v]=i;
}
for(int i=1;i<=k;i++)
{
q[i].t=read(),q[i].x=read(),q[i].y=read();
if(q[i].t==2) c[q[i].x]+=q[i].y;
}
//reverse the queries
reverse(q+1,q+1+k);
//calc the time in queries and go to cdq
for(int i=1;i<=k;i++) if(q[i].t==1)
e[mp[1ll*q[i].x*n+q[i].y]].t=i;
cdq(1,m,0,k+1);
//calc the answer as undirected graph
sort(d+1,d+1+t);
for(int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i,ins(rt[i],0,up,c[i],1);
for(int i=1,j=1;i<=k;i++)
{
//link the edge
while(j<=t && d[j].t<=i)
{
int x=Find(d[j].x),y=Find(d[j].y);j++;
if(x==y) continue ;
fa[y]=x;rt[x]=comb(rt[x],rt[y]);
}
int x=q[i].x,y=q[i].y;ans[i]=-1;
if(q[i].t==2)
{
ins(rt[Find(x)],0,up,c[x],-1);
c[x]-=y;
ins(rt[Find(x)],0,up,c[x],1);
}
if(q[i].t==3)
ans[i]=ask(rt[Find(x)],0,up,y);
}
for(int i=k;i>=1;i--) if(ans[i]!=-1)
printf("%lld\n",ans[i]);
}
