[学习笔记] 随机化贪心

简介

如果题目要求最优解，但难以按照某个规则贪心求出最优解，也无法使用动态规划等算法。可以考虑随机贪心，将输入数据随机打乱，然后从前到后按照某种方式贪心，多次随机求最优值。

还可以结合多种不同的贪心规则，每次使用不同的贪心方法，不断逼近最优值。

一般可以用在出题人无法轻易掌控某个输入时得到的输出类型的题目，随机情况下可以避免出题人的刻意卡。同时，随机化贪心也可以加入权重，例如为直观感受上更优的点提供更高的权重，更有几率排在序列的前面。

如何为更优的点提供更高的权值呢？如果某个点存在多个有关量，首先我们把有关量分类，类间的关联性较小，类间的权值用加法。同类的量用比值定义法，越重要的量就在上面加次方就可以了。

成长快乐

点此看题

由于出题人特意造一些有特殊性质的数据，所以本题应该不存在一个简洁的做法，还是需要拼盘。

本人的随机化算法可以在 \(\tt luogu\) 上获得 \(66\) 分（其中三个点输出不合法被特殊数据卡），评测记录

我们运用加权法，考虑给每个还没有被吃掉的鱼定这样一个权值（参数是抄的别人的）：

\[\frac{w_i}{t_i^2}+\frac{s_1}{d}+s_2 \]

其中 \(w_i\) 表示这只虾的权重，\(t_i\) 表示吃掉这只虾需要花费的时间，\(d\) 表示一开始和它的距离，\(s_1,s_2\) 是两个在 \([1,10]\) 中的正整数，可以用 \(\tt mt19937\) 生成。

那么我们按照这个权重选取最优的点即可，剩下的问题是计算相遇时间的问题，这篇博客已经阐述的很清楚了，我只能说计算几何是我的一生之敌，写出来总是一堆锅。

#include <cstdio>
#include <random>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define db double
const int M = 100005;
const db inf = 1e18;
const db eps = 1e-12;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
db lim,ans,aw,ax,ay,nv,nw,nx,ny,nt;//nemo
db fw[M],fx[M],fy[M],fp[M],fq[M];int n,m,vis[M];
struct node{db t,x,y;int id;}a[M],b[M];
db sqr(db x) {return x*x;}
db dis(db a,db b,db c,db d) {return sqr(a-c)+sqr(b-d);}
db calc(int i)
{
	db x=fx[i]+nt*fp[i],y=fy[i]+nt*fq[i];
	if(fabs(nx-x)<eps && fabs(ny-y)<eps) return 0;
	db a=(sqr(fp[i])+sqr(fq[i]))-sqr(nv);
	db b=-2*((nx-x)*fp[i]+(ny-y)*fq[i]);
	db c=dis(x,y,nx,ny),dl=b*b-4*a*c,ans=inf;
	if(fabs(a)<eps) return (b>-eps)?inf:(-c/b);//a=0
	if(dl<eps) return inf;//no such solution
	dl=sqrt(dl);
	db x1=(-b-dl)/(2*a),x2=(-b+dl)/(2*a);
	if(x1>-eps) ans=x1;
	if(x2>-eps && x2<ans) ans=x2;
	return ans;
}
void work()
{
	mt19937 z(time(0));
	nw=aw;nx=ax;ny=ay;nt=0;
	int num=0,G=z()%10+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
	while(1)
	{
		int id=0;db mt=0,mk=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(fw[i]<nw && !vis[i])
		{
			db t=calc(i);
			db d=dis(nx,ny,fx[i]+fp[i]*nt,fy[i]+fq[i]*nt);
			db k=0;
			if(t<eps || sqrt(d)<eps) k=inf;
			else k=fw[i]/(t*t)+1/(G*sqrt(d))+z()%10;
			if(k>mk) mk=k,mt=t,id=i;
		}
		if(nt+mt>lim || !id) break;
		nt+=mt;vis[id]=1;
		nx=fx[id]+fp[id]*nt;
		ny=fy[id]+fq[id]*nt;
		nw+=fw[id];
		b[++num]=node{nt,nx,ny,id};
	}
	if(nw>ans)
	{
		ans=nw;m=num;
		for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=b[i];
	}
}
signed main()
{
	freopen("nemo8.in","r",stdin);
	freopen("nemo8.out","w",stdout);
	scanf("%lf %lf %lf %lf %lf",&aw,&nv,&lim,&ax,&ay);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf %lf %lf %lf %lf",
		&fw[i],&fx[i],&fy[i],&fp[i],&fq[i]);
	}
	while(1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<=10) work();
	printf("%d\n%.6f\n",m,ans-aw);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%.6f %.6f %.6f %d\n"
		,a[i].t,a[i].x,a[i].y,a[i].id);
}