AtCoder Regular Contest 135

真的好久没有打线上赛了，虽然只做了一个小时就去听课了。希望手感能越来越好吧，还是不要把问题想复杂，正常地去找结论应该就可以了，保佑我下次 codeforces 的下午场一发上红吧，还有这场的 \(E\) 估计是玄学，就不想补了。

D.Add to Square

题目描述

点此看题

解法

操作问题思考不变量，我们可以构造出 \(a_{i,j}=A_{i,j}\cdot (-1)^{i+j}\)，那么发现任意操作之后 \(x_i=\sum_{j=1}^m a_{i,j}\)、\(y_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}\) 都是不变的。那么从必要条件的角度出发，考虑证明 \(x,y\) 相同的状态都是可以到达的，这个可以直接构造，对于第一行第一列我们可以通过最外层的操作让他们满足条件，然后就可以归纳到 \((n-1,m-1)\) 的情况了。

那么我们直接通过 \(x,y\) 来考虑最终状态 \(b\)，由于是行和列的限制可以看成匹配问题，考虑一次匹配 \((i,j,c)\) 的效果是：\(x_i\leftarrow x_i-c,y_j\leftarrow y_j-c,b_{i,j}\leftarrow b_{i,j}+c,ans\leftarrow ans+|c|\)，最后要把它们都变成 \(0\)

显然答案下界是 \(\max(\sum_{i=1}^n |x_i|,\sum_{i=1}^m |y_i|)\)，考虑关键性质是 \(\sum_{i=1}^n x_i-\sum_{i=1}^m y_i=0\)，所以我们可以把它们贪心地匹配起来，也就是我们先操作所有的 \(x_i>0\and y_j>0\) 或者 \(x_i<0\and y_j<0\) 的 \((i,j)\) 即可。

最后 \(x,y\) 只会有一边不是全 \(0\)，而这一边的和又是 \(0\)，如果是行都和第 \(1\) 列匹配即可（列同理），显然达到了答案下界。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 505;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,ans,a[M][M],b[M][M],x[M],y[M];
int Abs(int x) {return x>0?x:-x;}
void add(int i,int j,int c)
{
	x[i]-=c;y[j]-=c;
	b[i][j]+=c;ans+=Abs(c);
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			a[i][j]=read();
			if((i+j)&1) a[i][j]*=-1;
			x[i]+=a[i][j];y[j]+=a[i][j];
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(x[i]>0 && y[j]>0)
				add(i,j,min(x[i],y[j]));
			if(x[i]<0 && y[j]<0)
				add(i,j,max(x[i],y[j]));
		}
	for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1,x[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) add(1,i,y[i]);
	printf("%lld\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if((i+j)&1) b[i][j]*=-1;
			printf("%lld ",b[i][j]);
		}
}